Equisangulo. Revista Iberoamericana de Educación MatemáticaConferencia
|
Equisangulo. Revista Iberoamericana de Educación Matemática |
Conferencia |
UNA MIRADA PEDAGÓGICA INTEGRADORA SOBRE LOS SABERES MATEMÁTICOS EN LOS NIÑOS DE EDAD ESCOLAR
Andonegui Zabala, Martín
Universidad Pedagógica Experimental Libertador , Instituto Pedagógico
Barquisimeto
Barquisimeto - Edo. Lara
Email: m_andonegui@hotmail.com
Resumen
La conferencia expone algunas ideas en torno a la diferenciación que, en el ámbito epistemológico, se presenta entre los saberes matemáticos de los niveles educativos primario y secundario. A este respecto, se invocan los criterios históricos y fenomenológicos como determinantes para esa diferenciación. Para ilustrar estas consideraciones se toma como caso de estudio la introducción de los enteros negativos en el programa de Matemática de 6º grado. Entre las diversas conclusiones destaca la necesidad de analizar epistemológicamente los objetos matemáticos a estudiar, como requisito indispensable para su tratamiento didáctico. Y también, la necesidad de estudiar, desde nuestras instituciones formadoras de docentes, los objetos matemáticos contemplados en los programas de Educación Básica.
Palabras Clave: educación básica, objetos matemáticos, análisis epistemológico, análisis fenomenológico
1. Introducción: una mirada pedagógica integradora...
El título de la conferencia –propuesto por la coordinación del Seminario– representa todo un programa de trabajo e investigación. Hablamos de saberes matemáticos, de niños en edad escolar, de pedagogía y de integración. Indudablemente, cualquier presentación de ideas referidas al tema propuesto no puede pasar –dentro de los límites de una conferencia–de una introducción y de una invitación a reflexionar juntos.
Para delimitar el tema de esta conversación, vamos a pensar en los dos niveles globales en que podemos ubicar a los niños –y adolescentes– en edad escolar: el de la escuela básica o primaria y el de la educación secundaria. La mirada pedagógica tratará de centrarse en la integración de los saberes matemáticos que se construyen en ambos niveles educativos.
Alguien pudiera advertir que bastaría con fijarse en los del nivel básico y tratar de tender sobre ellos esa mirada pedagógica integradora; pudiera ser. Pero pensamos que los saberes de ese nivel no son terminales, que más bien deben servir de base a los que se propongan posteriormente –y, para ello, hay que tener a la vista esos nuevos saberes–, y que la construcción de estos últimos dependerá en buena medida de lo que se haya hecho previamente. De ahí la necesidad de considerar los saberes de cada uno de los niveles en una relación mutua indispensable.
Ahora bien, para que nuestra visión sea integradora deberemos, en primer lugar, tratar de diferenciar las características de los saberes matemáticos propios de cada uno de esos dos niveles educativos; sólo así podremos sugerir posteriormente las formas posibles de esa integración.
En este punto, resulta obligado delimitar los aspectos en que podemos establecer la diferenciación y la integración. A nuestro modo de ver las cosas, tenemos que considerar tres de esos aspectos o niveles de reflexión: el epistemológico, el cognitivo y, finalmente, el didáctico.
1. El nivel epistemológico está referido a la construcción de los objetos matemáticos específicos y a su validación; se consideran, pues, los conceptos, sus sistemas de representación, la historia de su aparición y evolución...
2. El nivel cognitivo se refiere a los procesos de aprehensión de tales conceptos, procedimientos y competencias; abarca el ámbito de las concepciones, creencias, actitudes, obstáculos, dificultades, errores... de los sujetos que aprenden.
3. El nivel didáctico es tributario de los dos anteriores y se centra en el establecimiento de rutas de aprendizaje y de enseñanza, poniendo énfasis en las estrategias y recursos.
Al llegar a este punto y ante el tamaño de la tarea que se puede derivar del título de la conferencia, nos vemos obligados a delimitar el tema de nuestra exposición. En este sentido, nos limitaremos a exponer algunas ideas en torno a la diferenciación que, en el ámbito epistemológico, se presenta entre los saberes matemáticos de cada uno de los dos niveles educativos considerados. Y, como es nuestra costumbre, trataremos de ilustrar estas ideas con un ejemplo referido a un objeto matemático específico. Lamentablemente, nos quedará por fuera, por ahora, el análisis de las posibles vías de conexión entre los saberes matemáticos de los niveles educativos primario y secundario.
2. La diferenciación de los saberes desde el ámbito epistemológico
Al analizar la naturaleza de los objetos matemáticos en cada uno de los dos niveles, encontramos una marcada diferenciación entre ambos procesos de construcción de los objetos matemáticos.
En primer lugar y como señalamos en otra oportunidad (Andonegui, 2005), no compartimos la visión habitual de considerar que sean los procesos de elementarización (Biehler et al., 1994) o de transposición didáctica (Chevallard, 1991) los que inciden en la constitución de los saberes matemáticos que se proponen en la educación básica.
Frente a estas perspectivas propugnamos por la presencia primordial de estas dos fuentes:
• Histórico-constructiva: centrada en descubrir el flujo histórico cultural que posibilita y explica los procesos de construcción de conocimientos matemáticos, así como percibir que en esta aventura humana hay cabida para ensayos y errores, para el ejercicio de la imaginación y de la intuición, para el razonamiento deductivo y para la analogía y la metáfora, para el análisis y para la síntesis…
• Desde los contenidos de la realidad: acceder al conocimiento matemático por la vía de estudiar elementos presentes en el entorno humano, tales como la cantidad, la forma, el símbolo y la representación, la dimensión, los patrones, las relaciones, el determinismo y la incertidumbre, la estabilidad y el cambio… (Steen, 1998). Significa la posibilidad de centrarse en la modelación y en las aplicaciones, de venir de, y de abrirse hacia las situaciones y los problemas del contexto humano, científico y social. Esta perspectiva posibilita la posición fenomenológica (Freudenthal, 1983) que percibe los objetos matemáticos como medios de organización de fenómenos, situaciones o contextos (Andonegui, 2005).
La perspectiva fenomenológica nos parece fundamental. Desde la misma, se considera un concepto o una estructura matemática como un objeto cuya finalidad es la de servir de medio de organización para toda una serie de fenómenos. Así, por ejemplo, las figuras geométricas son los objetos matemáticos que organizan los fenómenos que podemos calificar como formas y contornos, presentes en la naturaleza y en los productos culturales.
Veamos estas afirmaciones con más detalle sirviéndonos del concepto de número (Freudenthal, 1983; Puig, 1997). En mi vida diaria puedo requerir de algún elemento de identificación de una persona o comunicarme con ella por teléfono, o conocer el número de personas presentes en un acto, o la posición en que quedó una determinada selección de fútbol en el reciente campeonato mundial...
Cada uno de estos fenómenos pertenece a alguno de los contextos diversos en los que hacemos uso del número: cardinal, ordinal, de medida, de secuencia, de recuento, de etiqueta, de lectura de guarismos escritos, mágico... El número aparece así como organizador de los fenómenos mencionados y de otros similares.
La aproximación al concepto de número requiere, en primer lugar, que la persona esté en capacidad de dar cuenta de todos los usos del número en todos los contextos posibles. Este proceso es progresivo y, durante el mismo, la persona construye y va enriqueciendo un campo semántico personal referido al “número”. Este campo semántico es lo que Freudenthal denomina el “objeto mental” número, que es el concepto que la persona tiene respecto al número y le permite dar cuenta de su experiencia y tener poder sobre ella.
En rigor, no es el concepto de número –que Freudenthal
ubica en la matemática formal, inserto en un sistema axiomático–
sino estos objetos mentales personales, referidos al número, los que
sirven de medios de organización para los fenómenos correspondientes.
La adquisición del concepto matemático formal de número
es posterior.
Como vemos, el análisis fenomenológico ratifica la presencia de
un proceso temporal en la adquisición del conocimiento matemático.
¿Cómo se desarrolla este proceso? En un primer paso o nivel, hay
objetos mentales –ligados a conceptos matemáticos– que organizan
fenómenos presentes en el mundo concreto. Por ejemplo y tal como ya se
han mencionado, los objetos mentales referidos a:
• las figuras geométricas, con respecto a las formas y contornos de los objetos;
• el número, con respecto a los fenómenos de contar u ordenar;
• la operación de sustracción, con respecto a las situaciones de quitar, de ver cuánto falta para, o de comparar con qué diferencia una cantidad es mayor o menor que otra; etc.
Pero el análisis fenomenológico no se detiene ahí, sino que sugiere que los objetos mentales matemáticos pueden, a su vez, convertirse en fenómenos que son organizados por otros nuevos objetos matemáticos. Tal sería el caso de:
• el objeto mental número natural, con referencia a su concepto abstracto;
• las fracciones, calificadas por Freudenthal como una fuente fenomenológica incesante de los números racionales;
• las operaciones aritméticas con números naturales, consideradas como fenómenos para el estudio posterior de las operaciones internas y de las estructuras algebraicas;
• las razones y proporciones, objetos matemáticos que pasan a constituirse en fenómenos para el objeto función lineal del tipo f(x) = mx; etc.
Nuestra hipótesis de trabajo consiste en plantear que la matemática del nivel primario debe referirse, inicialmente, a los objetos matemáticos que sirven de medios para organizar los fenómenos ubicados en el mundo concreto al que puede tener acceso el niño. Más aún, todo objeto matemático de esta naturaleza debe ser considerado como parte de esa matemática del nivel primario.
Posteriormente se irán construyendo objetos matemáticos que sirvan como medios para organizar estos objetos matemáticos de primer nivel, en el trayecto hacia los conceptos ubicados en el nivel formal [Como puede apreciarse, la constitución de los contenidos matemáticos en el nivel escolar sigue una trayectoria opuesta a la que se propone desde la perspectiva de la transposición didáctica...].
De esta forma y en particular, la matemática del nivel secundario estaría constituida por algunos objetos matemáticos que sirven como medios para organizar los construidos en el nivel primario, más otros conceptos requeridos por el propio desarrollo de la matemática.
Como se deduce fácilmente, esta hipótesis promueve una revisión de los contenidos que se incluyen en los planes de estudio hasta ahora vigentes en los niveles primario y secundario (Currículo Básico Nacional en sus dos primeras etapas, por un lado, y programas de la tercera etapa del CBN y del Ciclo Medio, por el otro) y también, de los que se diseñen en el futuro.
3. Un ejemplo ilustrativo: los números enteros negativos
3.1. La introducción del número entero negativo en los programas escolares
En los programas y textos de matemática para 6º grado se incluye por primera vez el tema de los números enteros negativos –curiosamente, sin haber introducido previamente los positivos...-, con la intención de ampliar el concepto de número. En la descripción de los bloques de contenido correspondientes al área de Matemática se habla de estos números enteros negativos como “referidos a situaciones cotidianas: temperaturas, pérdidas económicas, alturas bajo el nivel del mar, años anteriores al nacimiento de Cristo” (ME, s.f.: p. 165).
En esta línea, los contenidos procedimentales incluyen “observaciones de situaciones de la vida cotidiana que ameritan el uso de números negativos...; utilización de números negativos para expresar situaciones...; resolución de problemas acerca de temperaturas, profundidades, pérdidas económicas...” (Íd.: p. 171).
Y en cuanto a la evaluación referida a este contenido, la competencia a adquirir es la de iniciar “el estudio de los números negativos como una necesidad de ampliar los números naturales” (Íd.: p. 184), uno de cuyos indicadores es que “el alumno lee, escribe y usa números negativos en situaciones cotidianas” (Íd.: p. 185).
Esta presentación oficial –que es seguida y desarrollada al pie de la letra por todos los textos escolares al uso– sugiere, de manera inequívoca, que estamos en presencia de un objeto matemático que puede calificarse como de nivel primario desde el punto de vista fenomenológico: el número negativo sirve para organizar fenómenos del entorno concreto del niño, de “su vida cotidiana”.
3.2. El concepto de número entero
Para poder valorar esta apreciación, veamos qué son los números enteros –de los cuales, los enteros negativos son un subconjunto. Un número entero se define como la clase de equivalencia de todos los pares ordenados de números naturales (a, b) tales que verifican la siguiente relación de equivalencia R: (a, b) R (c, d) a + d = b + c. Así, el número entero 5 viene dado por la clase de equivalencia {(5, 0), (6, 1), (7, 2), ...}; y el número entero -3, viene dado por la clase de equivalencia {(0, 3), (1, 4), (2, 5), ...}.
A partir de aquí puede inferirse que los enteros positivos corresponden a las clases de pares cuyo primer elemento es mayor que el segundo; y que los enteros negativos corresponden a las clases de pares cuyo primer elemento es menor que el segundo [No resulta muy procedente identificar el número natural con la diferencia del primer elemento menos el segundo, ya que en el caso de los enteros negativos, no está definida la diferencia de dos números naturales cuando el sustraendo es mayor que el minuendo...].
Tampoco resulta difícil percatarse de que el número entero es un objeto matemático absolutamente diferente del número natural. Esta observación se hace aún más pertinente cuando se trata del entero positivo, a pesar de que ambos números puedan representarse con el mismo símbolo.
En realidad, la inmersión de N en Z por la vía de una aplicación biyectiva entre el conjunto de los números naturales y el de los enteros positivos, suele confundirse con una identificación entre los elementos correspondientes de ambos conjuntos, N y Z+ lo cual no es cierto, ya que esa aplicación biyectiva se hace entre elementos de distinta naturaleza, distinción que perdura tras la biyección.
Así, 5 como número natural puede designar el cardinal de un conjunto que cuenta con cinco elementos, mientras que 5 como número entero representa la clase de equivalencia que mencionábamos antes; nada que ver con su posible uso para expresar la medida de conjunto alguno; y esta imposibilidad atañe, con mayor razón, al número entero negativo.
3.3. El número entero negativo en la historia de la Matemática
Ahondando en la epistemología de los números enteros, establecido su concepto –el punto final de la ruta de aprendizaje desde la perspectiva fenomenológica– y aclarada la distinción entre N y Z+, podemos preguntarnos: ¿qué fenómenos son organizados por los números enteros y, en particular, por los enteros negativos? Para responder a esta pregunta resulta imprescindible acudir a la historia de la matemática.
El número negativo surge, en esa historia, a partir de las necesidades que presenta el cálculo algebraico formal y la resolución de ecuaciones, cuyas raíces pueden ser negativas. Estos son los fenómenos –que no son de primer nivel, de nivel concreto– que los números negativos vienen a organizar; no son las situaciones concretas, “de la vida cotidiana”, las que motivan la aparición y el estudio de los números negativos.
Precisamente, la gran oposición que la comunidad matemática ofreció durante muchos siglos a la aceptación de los números negativos como objetos matemáticos “normales” se debió a que no se encontraba un referente concreto para los mismos. En este sentido, y como lo apunta Freudenthal (1973) citando a Klein, el número negativo es la primera noción matemática de la enseñanza elemental cuya génesis histórica no se produjo por una necesidad de modelizar el mundo físico o social (Cid, 2003).
Hay que esperar hasta el año 1867 para que Hankel sea el primero en establecer una base formal para los números enteros negativos que da explicación de su naturaleza y de los principios que regulan las operaciones con ellos (las famosas reglas de los signos...).
Con este planteamiento formal y plenamente abstracto no sólo se superan los obstáculos epistemológicos que habían confundido a los matemáticos anteriores (Glaeser, 1981), sino que queda bien claro que para establecer el concepto de número entero y comprenderlo a cabalidad, no debe buscarse su fundamento o explicación en lo natural, en fenómenos concretos. Más bien, la referencia a situaciones concretas puede convertirse en un obstáculo para la comprensión de los números enteros y de su estructura aditiva y multiplicativa (Cid, 2000).
3.4. Análisis de la ubicación del tema en el programa escolar
A la luz de las últimas anotaciones y volviendo al planteamiento del programa de Matemática de 6º Grado referente a los enteros negativos, la sugerencia oficial de que tales números sirven para organizar fenómenos del entorno concreto del niño, de “su vida cotidiana”, no es acertada. En otras palabras, no estamos en presencia de un objeto matemático que puede calificarse como de nivel primario desde el punto de vista fenomenológico.
Por un lado, se aprecia que la adjudicación del calificativo “negativo” para las medidas de las profundidades bajo el nivel del mar, de las temperaturas bajo cero, para los años anteriores al nacimiento de Cristo, para las pérdidas en los balances financieros, para las distancias sobre una recta desde un punto y siguiendo un sentido arbitrario, es un recurso innecesario, promovido por la única intención de “hacer aterrizar” estas situaciones en la pista de los enteros negativos.
En efecto, todas esas situaciones pueden calificarse, como acabamos de hacerlo, con referencias que adquieren su significado en la propia situación concreta. Así, hablamos de distancias “bajo el nivel del mar” o “en sentido hacia el oeste”, temperaturas “bajo cero”, balances financieros “en números rojos” (!), años “antes de Cristo”, etc. Es decir, la direccionalidad de las cantidades se hace perfectamente comprensible cuando los números se acompañan con los calificativos anteriores, y no con un signo “negativo”.
Además, si analizamos estas situaciones, en todas ellas se busca la medida de una magnitud concreta: de una distancia, de una temperatura, de un saldo financiero, de una ubicación temporal, etc. Lo que ocurre es que la medida solicitada requiere no sólo de un elemento cuantitativo (tantos metros o kilómetros, tantos grados, tantos bolívares, o tantos años), sino también de un componente direccional (en tal sentido, bajo o sobre cero, de saldo positivo o negativo, antes o después de Cristo). Estamos midiendo magnitudes direccionables, pero concretas.
¿Con qué tipo de números presentamos estas medidas? La respuesta es clara: con números naturales y –desde Stevin (Ferreirós, 1998)– con fracciones o números decimales. No necesitamos otro tipo de números para medir magnitudes concretas, es decir, para trabajar los fenómenos referidos a lo concreto, a “la vida cotidiana”. Y si se trata de relacionar medidas de magnitudes concretas, lo haremos con razones.
Estos son los tipos de números que deben trabajarse en la matemática del nivel primario. Y la razón de esta determinación se debe a que son los números que organizan (miden) los fenómenos del entorno concreto de los niños. Mientras podamos trabajar con ellos, no necesitamos de otros sistemas de números.
3.5. ¿Y la didáctica de los números enteros negativos?
Como dijimos al comienzo, el nivel didáctico es tributario de los niveles previos, epistemológico y cognitivo. Y aunque no hayamos entrado a considerar este último, ya percibimos que del análisis del nivel epistemológico se deducen algunas conclusiones que atañen a la didáctica de los números enteros:
• Se pierden todos los argumentos para considerar los números enteros negativos como organizadores de fenómenos de la vida cotidiana de los niños. De donde se infiere que este tema no debe insertarse en el nivel primario de la matemática escolar.
• Esto no significa que dejen de trabajarse, en ese nivel primario, las situaciones concretas antes ejemplificadas; sólo que pueden ser organizadas por números direccionados –naturales, fracciones o decimales–, sin necesidad de recurrir al signo “negativo” para su representación.
• Cuando posteriormente se vaya a entrar en el tema de los números enteros, positivos y negativos, no es conveniente iniciar con una referencia a situaciones concretas, ya que los números enteros no sirven de organizadores para tales situaciones, ni para expresar medidas de magnitudes concretas.
• Tampoco parece procedente utilizar recursos concretos, referidos a procesos de neutralización (fichas de dos colores, juegos de ganancias y pérdidas, cargas eléctricas positivas y negativas, seres valorados positiva o negativamente que entran o salen, etc.) o de desplazamiento sobre un camino que se extiende a ambos lados de un punto de referencia inicial (modelos de recta numérica y similares). La razón para desestimar estos recursos concretos es que no satisfacen la necesidad de representar y dar sentido a las operaciones de adición y multiplicación, y a la estructura de orden de los números enteros (Cid, 2002).
• Parece, pues, que la introducción del tema debería producirse cuando los estudiantes estén capacitados para comprender el concepto formal de número entero, construido como conjunto cociente de la forma indicada anteriormente. Después se establecería la relación de orden en dicho conjunto y se definirían axiomáticamente las operaciones aritméticas de suma y producto.
• Establecida la existencia de los números enteros negativos y las reglas que rigen sus operaciones aritméticas (reglas de los signos), podría fortalecerse alguno de sus casos por vía inductiva, mediante la generalización de ciertas regularidades; por ejemplo, para la multiplicación se partiría de una secuencia como ésta:5 x 3 = 15
5 x 2 = 10
5 x 1 = 5
5 x 0 = 0
para continuar:
5 x (-1) = -5
5 x (-2) = -10, etc.Y análogamente:
(-3) x 3 = -9
(-3) x 2 = -6
(-3) x 1 = -3
(-3) x 0 = 0
para continuar:
(-3) x (-1) = 3
(-3) x (-2) = 6, etc.
4. Una mirada integradora: desde lo epistemológico hasta lo didáctico
Las ideas que hemos propuesto para caracterizar los objetos matemáticos del nivel de la escuela primaria desde las perspectivas fenomenológica e histórica, así como el análisis que hemos presentado referente a la ubicación de la introducción de los números enteros negativos, nos deben llevar a ratificar el planteamiento inicial: la tarea didáctica relativa a un objeto matemático debe ir precedida por el correspondiente análisis epistemológico del mismo.
De aquí pueden derivarse otras tareas, particularmente las referidas a la revisión de la organización curricular de los contenidos –objetos– matemáticos de la educación primaria y de los inicios de la educación secundaria, partiendo del análisis epistemológico de tales objetos.
El autor sospecha que, para la matemática primaria, debería definirse un conjunto numérico nuevo, el conjunto de los números concretos, es decir, el conjunto de todos los números que organizan (miden) los fenómenos del entorno concreto de los niños; en otras palabras, los números que se utilizan para medir las magnitudes concretas, sean discretas o continuas. Como se ha dicho anteriormente, tal conjunto estaría formado por los números naturales y las fracciones o decimales.
Estos números concretos bastan también para medir las magnitudes que, además de la cantidad de magnitud, requieren de una precisión en cuanto a la direccionalidad de la magnitud. Son las situaciones o fenómenos que el programa de 6º Grado sugiere que pueden ser organizados por los enteros “negativos”.
Esta propuesta no es nueva –para descargo del autor. Ya González Marí (citado por Cid, 2003) se plantea la construcción de un objeto matemático nuevo, el número natural relativo, aplicable a situaciones como las que hemos examinado, y que ocuparía una posición intermedia entre el número natural y el entero.
Otro testimonio proviene de Vergnaud. En su obra “El niño, las matemáticas y la realidad” (Vergnaud, 1991), escrita en 1985, se refiere a los números decimales como “números con punto [coma]” que se utilizan para expresar las medidas de magnitudes continuas [entran, por lo tanto, en la categoría de lo que hemos denominado números concretos].
Acerca de estos números decimales sugiere que se podría hablar de “números con punto relativos”, es decir, orientados en dos posibles sentidos. Y agrega: “No vamos a extendernos demasiado sobre la cuestión de los números decimales. Es, sin embargo, una cuestión importante y difícil, pero el autor no la ha estudiado lo suficiente” (Ob. Cit., pp. 163 ss.).
Ahora sí podríamos concluir que el estudio de las situaciones particulares que promueve el programa de Matemática de 6º Grado es pertinente –incluso podrían trabajarse antes–, con tal de que los números que cuantifiquen esas situaciones sean reconocidos como números concretos direccionados, y no como enteros negativos, afectados por un signo “menos”.
Concluimos estas reflexiones evocando la confesión de Vergnaud, sorprendente en la literatura al uso. Y en esa línea queremos dejar establecida la necesidad de estudiar los objetos matemáticos que constituyen los contenidos de los programas de la educación primaria. Tenemos la convicción de que tales objetos son los menos estudiados en nuestras universidades, particularmente en las instituciones formadoras de docentes. He aquí la propuesta de una tarea bien exigente.
REFERENCIAS
| Equisangulo http://www.actualizaciondocente.ula.ve/equisangulo/ |