Equisangulo. Revista Iberoamericana de Educación MatemáticaForo
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Equisangulo. Revista Iberoamericana de Educación Matemática |
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LA ESCUELA: UN ESPACIO DE ENCUENTRO ENTRE LOS SABERES DE LA MATEMÁTICA, EL ARTE, LAS CIENCIAS NATURALES Y LA LITERATURA
Walter O. Beyer K.
Universidad Nacional Abierta
Caracas - Venezuela
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1. La problemática de la enseñanza de la matemática
El título del foro es sumamente sugerente y nos conduce indefectiblemente a considerar un término, muy en boga en el ámbito educativo venezolano: la integración.
De nuestra realidad desapareció en gran medida el uso de la palabra maestro para ser sustituida, en la profesión docente, por la de docente integrador.
Pero, ¿qué significado se le atribuye a la integración? ¿Cómo debe ser el accionar del docente integrador para logarla?
En nuestras escuelas, así como en los documentos oficiales, con frecuencia se habla de enseñanza por proyectos y de otras estrategias que supuestamente deben conducir a que la acción docente produzca la pretendida integración.
No obstante, en innumeras oportunidades las matemáticas
se han convertido en la cenicienta de ese supuesto proceso integrador, llegando
a no aparecer o, en el mejor de los casos, a ser trivializadas de una manera
tal que su aparición en tales ocasiones es forzada e inútil a
los fines de su aprendizaje.
Tampoco es nueva dentro del campo didáctico la mención a los procesos
globalizadores o de integración. Ese heterogéneo movimiento conocido
como Escuela Nueva estaba impregnado de tales propuestas, las cuales tuvieron
gran acogida en nuestra realidad desde 1936.
Así que, los proyectos, los centros de interés, las unidades generadoras de aprendizaje y los proyectos pedagógicos (de aula y de plantel) han formado parte de esos intentos.
Sin embargo, la formación que se le proporciona al cuerpo docente muchas veces no es cónsona con tales propósitos integradores.
Aprovecharemos la oportunidad que nos brinda este foro para mostrar la posibilidad real de integración de las matemáticas, no sólo con las ciencias naturales, sino con el arte y la literatura.
Mostraremos, dado lo limitado del tiempo del cual disponemos, sólo algunos ejemplos de las relaciones que pueden establecerse entre estas diversas áreas del saber y de la cultura. Y tomaremos como elemento nuclear al número de oro o sección áurea.
A continuación, emplearemos un diagrama de Euler-Venn para orientar nuestra discusión.
Nos formularemos, de partida, las siguientes interrogantes:
¿Cómo interactúan estas áreas del saber? ¿Qué hay en las intersecciones?
Nuestra aspiración es proporcionar, por lo menos, una aproximación de respuesta a tales interrogantes.
Pero, también hemos de agregar como interrogante el cómo es y el cómo debería ser el salón de clases.
Por supuesto, dentro de un esquema tradicional, entendiendo como tal a la clase de tipo discursivo, en la cual sólo el maestro es la parte activa y el alumno sólo juega el papel de un receptáculo de los conocimientos; aquél en que la acción didáctica se circunscribe a los apuntes o a un libro de texto (a veces de dudosa calidad); el que considera las asignaturas como compartimientos estancos y el método de aprendizaje es de corte memorístico; dentro de tal esquema no puede tener cabida ningún tipo de integración o de globalización.
Por lo tanto, es menester en primer término, romper con gran parte de los moldes tradicionales dentro de los cuales se desenvuelve el quehacer cotidiano de la actividad educadora en nuestras escuelas.
Entraremos en materia empezando por la literatura.
Matemáticas y literatura
Existen numerosas obras y diversos autores que sirven al propósito de relacionar la matemática con la literatura. Pero, a efectos de este foro sólo procederemos a centrarnos en dos obras: “Alicia en el país de las maravillas” de Lewis Carroll y “El diablo de los números” de Hans Magnus Enzensberger.
Lewis Carroll (1832-1898), era un seudónimo que usaba Charles Lutwidge Dodgson el nombre verdadero del autor de las "Aventuras de Alicia en el País de las Maravillas" (Alice's Adventures in Wonderland), y de "A través del Espejo" (Through the Looking Glass).
Nacido en Daresbury, Inglaterra, era el mayor de 11 hijos: cuatro varones y siete niñas. A los 18 años, ingresó en la Universidad de Oxford, en la que permaneció durante cerca de 50 años.
En 1854 obtuvo el grado en letras. Comienza sus estudios matemáticos, los cuales se extienden desde 1855 hasta 1881. Fue ordenado diácono de la Iglesia Anglicana en 1861.
Enseñó Matemáticas a tres generaciones
de jóvenes estudiantes de Oxford, y lo que es más importante,
escribió dos de las más deliciosas narraciones que se han producido
en el campo de la literatura: “Alicia en el país de las maravillas”
(1865) y “A través del espejo, y lo que encontró Alicia
allí” (1871).
Vivió 66 años. El trabajo y las Matemáticas, su diversión
favorita, ocuparon su vida.
Escribió diversos libros sobre matemáticas: “A syllabus of plane algebraic geometry” (1860); y el considerado por muchos como el más interesante de ellos que se titula: “Euclides y sus modernos rivales” (1879-1885).
De interés para el tema que nos ocupa es su escrito “Lo que la tortuga le dijo a Aquiles” (1895).
Con respecto a Enzensberger, a diferencia de Dodgson, no es matemático. Éste estudió literatura alemana y filosofía.
Sobre la obra, el autor del libro, Hans Magnus Enzensberger, la define como “Una extraña historia”, y nos avisa que los términos que usa este diablillo de los números difieren de los utilizados por los matemáticos, pero que los conceptos explicados son plenamente serios y correctos.
El libro está escrito para niños, pero sobre todo se recomienda a los maestros de los niños. A los docentes que tienen interés en que sus alumnos aprendan a razonar y ofrecerles mejores explicaciones sobre los conceptos y operaciones.
Este libro se recomienda a aquéllos que les gusta pensar y, sobre todo, para los que quieren aprender a razonar y a comprender los principios matemáticos esenciales, más que las operaciones mecánicas en sí.
El autor presenta a un pequeño y travieso diablito, elegantemente vestido, que fuma pipa y tiene una gran inventiva para llevarnos a través de 12 capítulos o sueños a imaginar las teorías y propuestas de grandes matemáticos, explicándolas de forma comprensible.
El texto nos presenta a Roberto, un asombrado niño que al inicio del libro odia las matemáticas y poco a poco, conforme transcurren sus mágicos sueños, se encanta con los números, los símbolos y sus combinaciones, las cuales parecen cosa de hechizo.
Entre el pequeño y el diablo de los números, se establecen diálogos amenos y sorpresivos, teñidos de la fascinación con la que el diabólico personaje muestra su creatividad, desplegando gran variedad de recursos didácticos.
Es una entretenida historia en la que se mezclan anécdotas, conceptos, juegos e historias, que muestra cómo todo cuadra en matemáticas, por qué existe un orden interno, (con la reserva de algunos misterios que aún están rompiendo la cabeza de muchos sabios). Por ello podemos decir que los números guardan muchos secretos y siempre tendrán algo nuevo para descubrir.
Los capítulos corresponden al número de noches en las que Roberto sueña con su singular amigo. Aunque los temas tratados en los sueños aparentemente son pocos, el listado que se ofrece en el anexo habla de los muchos conceptos de que trata el libro.
El lector puede revisar en orden los capítulos o acudir al índice alfabético y buscar un tema: por ejemplo, la división. En el anexo se le indican las páginas 50 y siguientes, correspondientes al sueño 3, donde se conoce a través de unos números que el diablo pinta en una cueva, información sobre la división, la inutilidad de dividir entre cero y los números primos o de “primera”, como los llama el diablo protagonista.
De seguidas haremos un breve recorrido por los sueños de Roberto.
Desde la primera noche el diablillo nos habla de las sutilezas del número uno. Con él podemos llegar a hacer números infinitamente grandes y con los quebrados hacer números infinitamente pequeños. También muestra cómo con el dígito uno se forman los otros números.
En la segunda noche se tratan los números romanos, la carencia del cero en éstos y las ventajas del sistema de numeración decimal. Ya en la tercera noche, Roberto empieza a desear la aparición del diablo y a interesarse por la magia de los números. Parece contestar gustoso los retos que éste le pone. Así dentro de una cueva aparecen los números primos, la división y continúa con el cero y lo que sucede cuando dividimos con él.
En el cuarto sueño llegamos al tema del infinito, las potencias y la raíz cuadrada. Aunque los conceptos se ofrecen manejando cantidades pequeñas, se explica gráficamente el principio y con ello se abre la posibilidad de comprenderlos mejor.
En el quinto sueño, desde lo alto de una palmera llena de cocos, nos habla de los números triangulares y las diferentes combinaciones que se pueden hacer con ellos.
El diablito en la sexta noche nos presenta a Bonatschi (Leonardo de Pisa, Fibonacci), al que llama su amigo, y la serie de números que llevan su nombre. Con éstos explica las reglas que el sabio matemático encontró y que serán muy útiles para entender la multiplicación exponencial. Para explicar el concepto utiliza una pareja de liebres, que se multiplican incesantemente hasta sumergir al afligido Roberto en un mar de orejas, convirtiendo su sueño en una pesadilla, de la cual, afortunadamente, logra sacarlo el diablo de los números.
En la séptima noche, aprendemos cómo se construye el triángulo numérico (triángulo de Pascal), y como podemos encontrar relaciones entre los números, lo que resulta casi tan bueno como tener una calculadora. El diablo también juega con diversas opciones del triángulo; por ejemplo, eliminar los múltiplos de 5 y entonces surgen curiosos dibujos y combinaciones en éste.
En la octava noche, jugando con nombres y lugares que ocupan los compañeros de escuela de Roberto, el diablo le muestra la ley de las probabilidades y la ley de la permutación.
El sueño nueve muestra organizados en series: los números pares e impares, los números primos, números de Bonatschi y los triangulares y los números saltarines (potencias). Inicia con los principios básicos de los quebrados y así vemos en qué consisten las mitades, los cuartos, los octavos, etcétera.
En el sueño diez, nuevamente con los números de Bonatschi forma figuras geométricas, pirámides y prismas.
Un importante capítulo es el sueño once, que trata sobre los principios más sencillos para probar algo y las dificultades que hay para realmente, “probar que se ha probado algo”. Y nos muestra los intrincados cálculos elaborados por Bertrand Russell para demostrar que: 1 + 1 = 2.
En el decimosegundo y último sueño nos describen una gran fiesta a la que asiste Roberto, invitado por Teplotaxl (ahí se nos revela el nombre del diablo de los números), y donde conoce a grandes matemáticos como el ya mencionado Lord Russell, a Euler, a Gauss y a Pitágoras, entre otros.
Nos hablan del chino descubridor del cero y al más grande de los matemáticos (de nombre desconocido), el sabio o sabia, puesto que puede tratarse de una mujer, que inventó el uno. También nos hablan del número pi, para poder calcular las dimensiones de todos los círculos, desde la Luna hasta el pastel que Roberto se está comiendo.
En la fiesta había curiosos objetos topológicos, como la Botella de Klein, con la que no sabemos qué está adentro ni qué está afuera. Roberto ve a todos comer tartas (pasteles), porque son redondas y el círculo es la más perfecta de las figuras.
Un elegante personaje le entrega a Roberto una estrella de 5 puntas, símbolo de “la orden pitagórica de los números de quinta clase”, lo cual lo llena de orgullo aunque tendrá que guardarlo en secreto.
Otras obras de interés son “El Aleph” de Jorge Luis Borges, “El teorema del loro” de Denis Guedj y “El tío Petros y la Conjetura de Goldbach” de Apóstolos Doxiadis, “El escarabajo de oro” de Edgar Allan Poe, “Flatland” de Edwin Abbott, por citar sólo las más conocidas.
Matemáticas y arte (pintura)
En relación
con el cuerpo humano, los griegos y los romanos estudiaron las proporciones
que se consideraron armónicas. Leonardo Da Vinci estudió estas
proporciones y las plasmó en este dibujo que se conoce como el Hombre
de Vitrubio.
Éste sirvió para ilustrar el libro “La divina proporción” de Luca Pacioli editado en 1509.
En las estatuas antiguas y en los hombres perfectamente proporcionados, el ombligo divide su altura total, según la sección áurea. Esta comprobación, que está de acuerdo con los cánones muy estudiados de Durero y de Leonardo, ha sido hecha nuevamente en las estatuas griegas de la época de Fidias.
Diversas obras pictóricas, como las que mostramos de
Da Vinci y de Dalí, tienen significativos componentes matemáticos.
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Matemáticas y arte (arquitectura)
Muchas relaciones pueden establecerse entre estas dos áreas de la cultura humana. Comenzaremos con una edificación harto conocida y que es parte del saber escolar: el Partenón.
Acerca del Partenón podemos decir que en el año 447 antes de N. E., el estadista Pericles encargó la construcción del Partenón, un templo dedicado a la diosa de la sabiduría, Atenea. En su construcción colaboraron tres artistas: Fidias, escultor y director de la obra; Ictinos y Calícrates, arquitectos.
Su nombre, Partenón, deriva justamente de Atenea Parthenos (‘párthenos’, que significa ‘virgen’), diosa a la cual estaba dedicada la obra. Se trata de una construcción de estilo dórico períptero octásilo (es decir, que está rodeada de columnas, con ocho de ellas en el frente). La estatua de Atenea que había en su interior medía 12 metros de altura.
Está construido en la Acrópolis de Atenas.
Este templo fue planeado conforme al ideal de "belleza en la sencillez", lo que se traduce en una relación armoniosa entre las partes, lograda a través de leyes geométricas que establecieron la relación de la longitud y la anchura con la altura y la proporción de las masas sólidas de las columnas con los claros entre ellas.
La arquitectura se complementaba con diversos grupos de esculturas. Durante casi 900 años, el Partenón cumplió con su función original, los siguientes 1000 años fue una iglesia cristiana y durante 200 más fue una mezquita musulmana. En 1687, durante una guerra entre venecianos y turcos, una bomba destruyó el interior del edificio.
Cabe destacar con relación a esta monumental obra arquitectónica que a principios del siglo XIX volvió a sufrir un cruel ataque. Todo comenzó cuando lord Elgin, un escocés que había sido nombrado embajador ante el Imperio Otomano, que estaba en muy buenas relaciones con Gran Bretaña, decidió que quería decorar su mansión escocesa con algunas estatuas de la Grecia clásica. Eligió llevarse las del friso del Partenón.
Como te hemos dicho, lord Elgin destrozó el friso del Partenón al llevarse una parte a su casa. Años después se encontró escaso de dinero y decidió vender los mármoles al Museo Británico. Allí están todavía. En su día, Grecia no pudo impedir este robo, porque en aquel momento formaba parte del Imperio Otomano (la actual Turquía).
Además de los ejemplos señalados, y más cercanos a nuestra realidad, están las líneas de Nazca (en Perú) y los petroglifos (abundan en toda América y, en particular, en Venezuela)
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Matemática y naturaleza
Las relaciones que pudiéramos establecer aquí son numerosas. No sólo las de tipo numérico, sino las de tipo geométrico como las diversas formas y configuraciones que aparecen en los objetos naturales, tanto en los animados como en los inanimados.
Muy conocida es la sucesión de Fibonacci que aparece como consecuencia del nacimiento de conejos. Sin embargo, un ejemplo menos conocido, pero que funciona igual que el de los conejos es el siguiente:
• El número de descendientes en cada generación
de una abeja macho o zángano nos conduce a la sucesión de Fibonacci,
y por lo tanto, al número áureo.
• Según se sabe, una vez inseminada la abeja reina por un zángano
(de otro enjambre), aquella se queda en su colmena y ya no sale más,
dedicándose a la puesta de huevos que ella misma va fecundando o no,
dando origen así a abejas obreras, o bien reinas, en el primer caso y
machos o zánganos en el segundo. Si observamos el árbol genealógico
(Figura 1) de un zángano, podemos ver cómo el número de
abejas en cada generación es uno de los términos de la sucesión
de Fibonacci.
La serie de FIbonacci se puede encontrar también en botánica. Así, por ejemplo, ciertas flores tienen un número de pétalos que suelen ser términos de dicha sucesión; de esta manera el lirio tiene 3 pétalos, algunos ranúnculos 5 o bien 8, las margaritas y girasoles suelen contar con 13, 21, 34, 55 o bien 89.
La parte de la botánica que estudia la disposición de las hojas a lo largo de los tallos de las plantas se denomina filotaxia. En la mayoría de los casos es tal que permite a las hojas una captación uniforme de la luz y aire, siguiendo, normalmente, una trayectoria ascendente y en forma de hélice.
Si tomamos la hoja de un tallo y contamos el número de hojas consecutivas (supongamos que son 'n') hasta encontrar otra hoja con la misma orientación, este número es, por regla general, un término de la sucesión de Fibonacci. Además, si mientras contamos dichas hojas vamos girando el tallo (en el sentido contrario a las agujas del reloj, por ejemplo) el número de vueltas 'm' que debemos dar a dicho tallo para llegar a la siguiente hoja con la misma orientación resulta ser también un término de la sucesión. Pues bien, se llama "característica" o "divergencia" del tallo a la fracción m/n, y que, como muestra en la Figura 2, en el olmo es 1/2, en el álamo 2/5, en el sauce llorón 3/8 y en el almendro 8/13. Si representamos por Fn el término que ocupa el lugar 'n' en la sucesión de Fibonacci (consideremos, por ejemplo: F1=1, F2=1, F3=2, F4=3, F5=5, F6=8, F7=13), en la mayoría de los casos la característica viene dada por una fracción del tipo Fn/Fn+2. Así, en el caso del sauce llorón sería F4/F6.
Las "hojas" de una piña de pino tienen, por regla general, una característica de 5/8 o bien 8/13, presentando propiedades similares las hojas de las lechugas, los pétalos de las flores, las ramas de las palmeras, el ficus, etc., ejemplos que se pueden comprobar fácilmente.
Los anteriores ejemplos nos muestran que la sucesión de Fibonacci y el número de oro constituyen temas matemáticos nucleares con los cuales, trabajando adecuadamente, podemos lograr la tan ansiada integración entre diferentes áreas del conocimiento humano.
Bibliografía
| Equisangulo http://www.actualizaciondocente.ula.ve/equisangulo/ |