Equisangulo. Revista Iberoamericana de Educación Matemática

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LO MATEMÁTICO Y SU ENSEÑANZA

Fuenmayor, Ramsés ¹
Universidad de Los Andes
Mérida - Venezuela
Email: ramsesfa@ula.ve

Resumen

Se presenta un contexto interpretativo dentro del cual interpretar la problemática de la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas (y de cualquier otro “juego lingüístico especializado”). Tal contexto interpretativo está constituido por dos partes: una, dedicada a la caracterización de lo que se denomina “proyecto matemático de la ciencia moderna”, en la cual se pretende poner de manifiesto algunos de los resortes íntimos de la ciencia moderna y su vinculación con las matemáticas. La otra parte del contexto interpretativo introduce a la primera parte en un espacio filosófico-lingüístico que gira en torno a la idea wittgensteiniana de “juego lingüístico” y sirve de marco conceptual general para tratar el problema de la enseñanza aprendizaje de “juegos lingüísticos especializados” como lo son las matemáticas. El artículo termina exponiendo lo que titula: “perplejidad final y primaria” en el que se presenta el problema mayor que, de acuerdo con el autor, se encuentra en la base de todo intento de enseñanza-aprendizaje en nuestros días.

Introducción

La dificultad en el aprendizaje de las matemáticas es un lugar común en la conversación sobre su enseñanza. Ante esa supuesta dificultad se origina un importante trabajo vinculado en el diseño de métodos y formas que hagan más asequible la tarea para los aprendices. Este congreso es una manifestación más de la preocupación que gira en torno a la dificultad en el aprendizaje de las matemáticas.

Sin embargo, la gran mayoría de los esfuerzos que se hacen en tan importante materia se mueven, por así decirlo, en el interior de una cierta forma cultural en cuya constitución la ciencia moderna ha jugado un papel decisivo. Y, claro está, si esto es cierto con respecto a la ciencia moderna, indudablemente lo es en relación con las matemáticas, las cuales, como bien se sabe, son un pilar fundamental de tales ciencias. Puesto en otras palabras, la mayoría de los importantes esfuerzos que se realizan para comprender mejor la problemática de la enseñanza y del aprendizaje de las matemáticas se mueven sobre un piso que es invisible para la mirada que acompaña esos esfuerzos. Se trata de un piso constituido por una serie de supuestos básicos sobre los que se edifica el propio pensamiento matemático.

En este artículo quisiera discutir algunos de los aspectos constituyentes de ese piso y, a partir de ellos, extraer algunas lecciones sobre la enseñanza de la matemática.

II. El proyecto matemático de la ciencia moderna ²

II.1 El piso invisible de la actividad científica

En el párrafo anterior leímos que las matemáticas han constituido un pilar fundamental en el desarrollo de todo ese complejo fenómeno que llamamos “ciencia moderna”; y que la reflexión sobre los fundamentos, las fronteras y la modalidad del conocimiento científico, vale decir, la reflexión epistemológica se retira, discretamente, de la actividad cotidiana de hacer y enseñar la ciencia.

En efecto, la ciencia viva, o in vivo, se da, fundamentalmente, en la actividad cotidiana de cada uno de aquellos que de un modo u otro la realizan. Es cierto, esa actividad, cuando se realiza de acuerdo a los cánones científicos, implica un cuestionamiento, un colocar entre paréntesis o sobre el tapete de la duda, nuestro objeto de estudio. Cuando experimentamos con ratas de laboratorio para observar la efectividad de una cierta droga, estamos dudando, cuestionando, tal afectividad, y, probablemente, los efectos secundarios de esa droga sobre el organismo. Al contrario de lo que ocurre con el paciente que simplemente usa la medicina para curarse, el científico coloca el uso y el efecto de la medicina en el espacio de las posibilidades y se distancia para observar dicho espacio a la luz de la duda metódica. Es posible que el paciente guarde sus dudas en relación con el efecto de la medicina, pero su compromiso con la curación inmediata o mediata le impide el alejamiento necesario para efectuar la comparación sistemática entre posibilidades (en este caso mediante la experimentación), comparación que le permitiría iluminar la oscuridad de su casi inconsciente duda.

Hemos dicho que la actividad científica coloca en el campo sistemático de la duda su objeto de estudio. Sin embargo, pocas veces se encorva sobre sí misma para colocar sobre ese campo la propia actividad científica. Este es un encorvamiento extraño, pues, llevado a su extremo, puede entenderse como el dudar metódicamente sobre el dudar metódicamente. Se trata de observar la observación en la que se dan cita lo observado y el observador. Se trata, pues, de un encorvamiento que nos produce una ligera sensación de vértigo.

Ahora bien, tal como el paciente puede guardar una cierta duda vaga en relación con las posibilidades del medicamento, el científico también puede guardar en la intimidad de su intuición cierta duda acerca de los fundamentos y acerca del sentido de su actividad. Por ejemplo, es natural que el científico contemporáneo tenga cierta sensación de que todo el proyecto que lo ocupa, los proyectos de sus compañeros y hasta los de otros científicos alejados por las fronteras de la disciplina, por el tiempo, por la distancia y por el idioma, son todos parte de una especie de gran empresa, movimiento intelectual, o de un gran proyecto, que los orquesta a todos y los conduce en algún sentido trascendente. Sin embargo, no nos preguntamos con decidida voluntad inquisitiva en qué consiste este gran proyecto, cuál es su punto de arranque, su base, su estructura y su destino. Así mismo, no nos preguntamos por qué aceptamos, casi inconscientemente, que ciertas ciencias van a la vanguardia de este movimiento intelectual, mientras que otras parecen ir a la zaga. Entre las ciencias naturales, la física dícese es la “reina”, las otras ciencias se consideran de “segunda” o “tercera” categoría. La investigación científica en biología, medicina, farmacología y en otras disciplinas son consideradas de “segunda categoría”; las ciencias sociales se consideran de “tercera” o “cuarta categoría”. Se cuenta que en una oportunidad en la que se le preguntó al famoso físico lord Ernest Rutherford, ganador del premio Nobel, su opinión acerca de las otras ciencias, arrogante y distraídamente contestó: “Hay física y hay filatelia”.³ Pero, ¿por qué esta discriminación entre las ciencias? ¿Qué tiene la física de especial? ¿Por qué Lord Rutherford parece catalogar las otras ciencias como meras colecciones? ¿Qué hace la física aparte de coleccionar conocimientos? ¿Cómo ordena su colección?

En una primera mirada, la intuición nos dice que la supuesta superioridad de una ciencia respecto a otra viene dada en términos de la posibilidad de determinación predictiva del comportamiento de los fenómenos que estudia. Esta idea viene frecuentemente acompañada por la idea de que el grado de “matematización” de las ciencias es directamente proporcional a la “elevación” que ocupe en la escala discriminatoria de las ciencias. De ser así, ¿por qué el uso de las matemáticas “eleva” la calidad de una ciencia?

Esta pregunta reclama una mejor comprensión de los resortes internos tanto de la ciencia moderna como de la matemática que tan importante papel juega un su desarrollo. Para ello intentaremos bosquejar lo que, siguiendo a Heidegger (1967), podríamos titular el “Proyecto Matemático de la Ciencia Moderna”.

II.2 La proyección de las formas puras sobre la naturaleza

La investigación sobre el asunto de la ”matematización” y de la jerarquía de las ciencias me condujo a dos obras que considero particularmente penetrantes en el tema; a saber, el prólogo a la segunda edición de la “Crítica de la Razón Pura” de Immanuel Kant (1787), y un opúsculo de Martin Heidegger titulado “Ciencia Moderna, Metafísica y Matemáticas” (1967). Mediante el examen de algunas ideas contenidas en estas obras intentaré presentar algunas pinceladas sobre la temática propuesta.

El gran filósofo Immanuel Kant descubrió rápidamente el hilo conductor de aquel fabuloso proyecto que recién comenzaba y que ahora denominamos “ciencia moderna”: ⁴

La matemática ha tomado el camino seguro de la ciencia desde los primeros tiempos a los que alcanza la historia de la razón humana, en el admirable pueblo griego. Pero no se piense que le ha sido tan fácil como a la lógica –en la que la razón únicamente se ocupa de sí misma– el hallar, o más bien, el abrir por sí misma ese camino real. Creo, por el contrario, que ha permanecido mucho tiempo andando a tientas (especialmente entre los egipcios) y que hay que atribuir tal cambio a una revolución llevada a cabo en un ensayo, por la idea feliz de un solo hombre...
Una nueva luz se abrió al primero (llámese Tales o como se quiera) que demostró el triángulo equilátero. En efecto, advirtió que no debía indagar lo que veía en la figura o en el mero concepto de ella y, por así decirlo, leer, a partir de ahí, sus propiedades, sino extraer éstas a priori por medio de lo que él mismo pensaba y exponía (por construcción) en conceptos. Advirtió también que, para saber a priori algo con certeza, no debía añadir a la cosa sino lo que necesariamente se seguía de lo que él mismo, con arreglo a su concepto, había puesto en ella. La ciencia natural tardó bastante más en encontrar la vía grande de la ciencia...
Cuando Galileo hizo bajar por el plano inclinado unas bolas de un peso elegido por él mismo, o cuando Torricelli hizo que el aire sostuviera un peso que él, de antemano, había supuesto equivalente al de un determinado volumen de agua, o cuando, más tarde, Stahl transformó metales en cal y ésta de nuevo en metal, a base de quitarles algo y devolvérselo, entonces los investigadores de la naturaleza comprendieron súbitamente algo. Entendieron que la razón sólo reconoce lo que ella misma produce según su bosquejo, que la razón tiene que anticiparse con los principios de sus juicios de acuerdo con leyes constantes y que tiene que obligar a la naturaleza a responder sus preguntas, pero sin dejarse conducir con andaderas, por así decirlo. (Kant, 1787, pp. 17, 18) (las itálicas son mías)

Fijemos, por un momento, la atención en la frase: “entendieron que la razón solo reconoce lo que ella misma produce según su bosquejo”, del párrafo precedente. La palabra “bosquejo” es aquí la traducción que la edición española consultada hace del vocablo alemán “Entwurf”, usado originalmente por Kant. Creo, sin embargo, que la palabra “proyecto” revelaría mejor el sentido que “Entwurf” tiene en el contexto de la obra kantiana. “Proyectar” quiere decir lanzar hacia delante; más específicamente, significa hacer visible sobre una superficie o cuerpo la figura de otro. También significa diseñar, esbozar, proponer la forma futura de algo y, en este último sentido, también significa designio.

Sí nos hacemos conscientes de la síntesis de todos estos significados que se dan cita en la palabra proyecto (Entwurf) podremos ver con mayor claridad el alcance del juicio kantiano: de acuerdo con Kant, la razón proyecta (hace visible sobre otro ser) su proyecto o designio sobre las cosas que estudia; y toma de vuelta aquellas formas proyectadas, pero ahora preñadas de “naturaleza”. De este modo, la regularidad que define el concepto de “naturaleza” es el producto de la proyección del orden de la razón sobre el mundo que se nos ofrece a la percepción.

Esta idea se convierte en la piedra angular del episteme de la ciencia moderna y, según Kant, en la razón de su firme camino evolutivo.

Incluso la física sólo debe tan provechosa revolución de su método a una idea, la de buscar (no fingir) en la naturaleza lo que la misma razón pone en ella, lo que debe aprender de ella, de lo cual no sabría nada por sí sola. Únicamente de esta forma ha alcanzado la ciencia natural el camino seguro de la ciencia, después de tantos años de no haber sido más que un mero andar a tientas... (ibíd, p. 18).

El modo como la razón busca sus formas proyectadas en la naturaleza es de carácter axiomático: El proyecto comienza por definir axiomas o principios cuya veracidad simplemente se acepta de modo intuitivo, sin argumentación ni demostración, tal como lo hace la matemática. Tomando como base tales axiomas o principios se deduce un cuerpo conceptual, teoría o modelo, del mismo modo que Euclides construyó su Geometría a partir de unos pocos axiomas. De esta manera, tanto las ciencias formales (matemática y lógica), como las ciencias naturales, comparten el método deductivo que, aplicado inicialmente a un conjunto de axiomas, da lugar a un sistema conceptual. Sin embargo, mientras en el caso de las ciencias formales estos sistemas se completan en sí mismos (o por lo menos así lo pretenden) las ciencias naturales experimentales deben proyectar las hipótesis resultantes de aquellos sistemas conceptuales sobre la naturaleza, proyección que haría visible el conocimiento científico de los fenómenos. La experimentación y el uso del método inductivo participan de este modo en el gran proyecto con el fin específico de mostrar la veracidad de las hipótesis sobre asuntos de hecho. En palabras de Kant:

La matemática y la física son los dos conocimientos teóricos de la razón que deben determinar sus objetos a priori. La primera, de forma enteramente pura; la segunda, de forma al menos parcialmente pura... (ibíd, p. 17).

Pero, ¿acaso quiere decir todo esto que mientras una disciplina no se “matematice” tiene cerrado el “camino seguro de la ciencia”? ¿Estamos diciendo que toda expresión científica debe ser traducida a números y a ecuaciones? ¿Qué relación hay entre axiomática y matemática?

Este asunto del carácter axiomático de la ciencia moderna y su relación con la matemática, tratado por Kant en la primera mitad del siglo XIX, lo retoma Martin Heidegger, 180 años más tarde, en su escrito “La Ciencia Moderna, la Metafísica y la Matemática” (1967).

II.3 Ta mathemata: Lo que se puede enseñar y aprender

Heidegger comienza por realizar un examen filológico de la palabra matemática:

La palabra matemática proviene originalmente de la expresión ta mathemata que significa lo que puede aprenderse y, por tanto, lo que puede enseñarse al mismo tiempo. Mathanein significa aprender, mathesis es la enseñanza. (Heidegger, 1967, pp. 249, 250) (la traducción es mía).

La mathemata son las cosas en la medida en que conocemos de ellas lo que ya sabemos que ellas son de antemano; el cuerpo como lo corporal, lo vegetal de la planta, lo animal del animal, lo ser cosa de la cosa, y así sucesivamente (Heidegger, 1967, p. 251).

Vale decir, la mathemata son los conceptos abstractos o géneros de las cosas, mientras que la pragmata son las cosas en su particularidad y en su circunstancia. “Árbol” es una palabra que designa un concepto genérico que incluye potencialmente una infinitud de posibles individuos concretos. El árbol de naranja de mi casa, el araguaney situado a la entrada de la antigua Facultad de Ingeniería, son individuos de ese árbol genérico sin existencia concreta. Obsérvese que los géneros son seres desprovistos del dinamismo circunstancial que rodea a los individuos concretos. El árbol de naranja de mi casa fue y está siendo uno de esos tantos milagros de la metamorfosis que caracteriza lo vivo. Fue originalmente una semilla, nada parecido a un árbol, luego germinó y dejó de ser lo que era para llegar a ser otra cosa: dejó de ser semilla para convertirse en árbol. Mañana mi árbol se puede quemar y dejar de ser árbol para convertirse en ceniza. Mientras todo esto ocurre a ese árbol particular de naranja, el concepto “árbol” queda intacto. El género “árbol” se mantiene fijo.

Ahora bien, cuando, por ejemplo, estudio y clasifico mi árbol de acuerdo con ciertos criterios tales como las partes de que consta, sus dimensiones, la especie a la que pertenece, estoy simplemente proyectando una serie de conceptos como son los de las partes de un árbol, los de medida, los de las clasificaciones taxonómicas, sobre mi particular árbol de naranja. Luego recojo las imágenes resultantes de tales proyecciones en lo que denomino estudio de ese árbol particular. De este modo, resulta claro por qué Heidegger nos dice que el aprendizaje propio de ta mathemata es un tomar muy peculiar, un tomar en el que aquel que toma sólo toma lo que él básicamente ya tiene.

La mathemata es aquello acerca de las cosas que nosotros realmente ya sabemos. Por tanto no lo sacamos de las cosas en primera instancia, sino que, en cierta forma, ya lo traemos con nosotros. Podemos ahora entender por qué los números, por ejemplo, pertenecen a la matemática. Vemos tres sillas y decimos que son tres. Las tres sillas no nos dicen qué es ser tres, ni tampoco lo hacen tres manzanas, tres gatos ni ningún otro trío. Al contrario, sólo podemos contar tres cosas si ya de antemano sabemos qué es el número tres. De esta manera cuando reconocemos que hay tres cosas, estamos solo re-conociendo algo que de algún modo ya conocíamos. Este re-conocimiento es el aprendizaje genuino. El número es así algo que propiamente puede ser aprendido. (ibíd, pp. 252, 253).

Nótese que en este sentido amplio la matemática no es numérica, más bien lo numérico es matemático. Es, precisamente, en este sentido que podemos hablar de “matematización” de las ciencias naturales modernas o del proyecto matemático de la ciencia moderna.
El proyecto matemático de la ciencia moderna consiste en la reducción de la variedad y del dinamismo fenoménico a la fijeza y estatismo de los conceptos matemáticos. Tales conceptos pueden ser definidos axiomáticamente y operados matemáticamente mediante cadenas deductivas e inductivas de razonamiento. Pero ¿cómo se dan cita la inducción y la deducción en el proyecto matemático de la ciencia moderna? ¿Cómo se conectan la formulación de las hipótesis y sus pruebas con el proyecto matemático? ¿Cómo se combinan la razón matemática de carácter deductivo con la observación de la naturaleza? Kant nos dice:

La razón debe abordar la naturaleza llevando en una mano los principios según los cuales sólo pueden considerarse como leyes los fenómenos concordantes, y en la otra, el experimento que ella haya proyectado a la luz de tales principios. Aunque debe hacerlo para ser instruida por la naturaleza, no lo hará en calidad de discípulo que escucha todo lo que el maestro quiere, sino como juez designado que obliga a los testigos a responder a las preguntas que el formula.” (Kant, 1787, p. 18).

Pero, ¿cómo se interroga a la naturaleza? ¿Cómo se integran tales cuestionamientos dentro del desarrollo axiomático deductivo?

II.4 Principia Matemática: La matematización de la física

El asunto resulta mucho más claro bajo el examen de la obra magna de Isaac Newton, su “Philosophiae Naturalis Principia Mathematica”. Según Heidegger:

…esta obra no es sólo la culminación de esfuerzos precedentes (como los de Galileo), sino que al mismo tiempo es la base de las ciencias naturales modernas. Cuando hoy hablamos de física clásica, nos referimos a la forma de conocimiento, de interrogación y de respuesta que Newton estableció. Cuando Kant habla de ciencia se refiere a la física de Newton. (Heidegger, 1967, p. 255) (la traducción y el paréntesis son míos).

En particular, vamos a concentrarnos en el primer principio de la sección fundamental de la obra newtoniana titulada “Principios o leyes del movimiento”. Me refiero a la famosa ley o principio de inercia que dice así:

Todo cuerpo continúa en su estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme, a menos que sea obligado a cambiar tal estado debido a una fuerza que se le imponga.

He aquí el axioma que permitiría la matematización del movimiento de los cuerpos –matematización entendida tanto en su sentido amplio como en su sentido numérico. Se trata de un principio que refleja y lleva larvada una concepción de las cosas, del espacio, del tiempo y del movimiento, conveniente para el desarrollo del proyecto matemático de la física clásica –concepción que a su vez morfoseó a la ciencia moderna y, en general, al pensamiento moderno occidental.

El cuerpo al que se refiere la ley de inercia es un concepto de alto nivel de abstracción en relación con la variedad de objetos particulares que designamos con ese nombre genérico. Se trata, simplemente, de una unidad de la res extensa cartesiana. Esta pluma en mi mano es un cuerpo, tanto como aquellas tres personas son un tres. Esas tres personas se ofenderían si las consideramos como un simple número, como un tres. Así, estrictamente hablando, esta pluma no es un cuerpo; más bien pertenece al género llamado 'cuerpo'. La física se refiere a 'cuerpos', no a cosas particulares como esta pluma o aquella silla. El cuerpo al que se refería Newton era un ser matemático cuyas propiedades –predefinidas, o al menos implícitas, en el primer axioma– podían ser medidas. De esta manera, las cosas pueden ser usadas como una ilustración del cuerpo que ellas representan.

Es difícil para nosotros, viviendo a comienzos del XXI, darnos cuenta con claridad del significado particular de este concepto de cuerpo, así como de la revolución que significó dentro de la física y dentro de todo el pensamiento moderno. Es un concepto enmarcado en una concepción que ha invadido de tal modo nuestro pensamiento académico que, difícilmente, podemos conseguir un fondo o medio contrastante para poder distinguirlo de otra cosa y, por tanto, identificarlo. Algo así sucedería con los habitantes de un mundo en el que todo está pintado de un solo tono de rojo. Tales habitantes no sabrían que su mundo es de color rojo puesto que no tendrían otros colores con los cuales contrastar su rojo único; el cual, por esta razón, sería invisible. Necesitamos, pues, un fondo contrastante sobre el cual distinguir el significado envuelto en el concepto newtoniano de cuerpo.

II.5 La frontera entre dos mundos

Sin ir muy lejos, la propia historia del pensamiento occidental nos ofrece otro modo de explicación del “movimiento” que, aunque incluido dentro de la misma corriente ontológica que la concepción newtoniana, diverge epistemológicamente de lo que Kant llamaría el “camino seguro” de una ciencia. Me refiero a la concepción aristotélica del “movimiento” y su relación con la naturaleza de la cosa que se mueve. Veamos muy brevemente en qué consiste la diferencia entre las concepciones aristotélica y newtoniana:

En la concepción aristotélica, las cosas que se mueven llevan dentro de sí la mezcla de dos “sustancias” totalmente diferentes: la sustancia terrestre y la sustancia celeste. Así, hay cosas cuya constitución es dominantemente celeste, como, por ejemplo, los gases y las llamas; y hay cosas, como las piedras, en cuya constitución predomina la sustancia terrestre. El peso de las cosas es, de este modo, directamente proporcional a la proporción de sustancia terrestre que éstas contengan. El tipo de movimiento de cada cosa depende del lugar al que ella pertenezca. El movimiento natural de los entes celestes es hacia arriba, hacia el lugar al que pertenecen. Esto es, precisamente, lo que ocurre con la llamas o con el vapor de agua. Por el contrario, el movimiento de los entes terrestres es hacia abajo, hacia el centro de la tierra donde pertenecen.

Newton, en cambio, consideró un solo tipo de “cuerpo”, desprovisto de naturalezas variadas. El cuerpo newtoniano es una especie de punto con masa que se mueve en el espacio y en el tiempo. El movimiento es externo al cuerpo; no depende de su naturaleza sino de una fuerza externa que se constituye en la “causa” del cambio de movimiento. He aquí, implícito, otro de los grandes pilares de la ciencia moderna, la idea de causalidad eficiente: Cualquier cambio, vale decir, cualquier suceso es el efecto de una causa externa a la cosa que cambia. Por otra parte, el espacio y el tiempo newtoniano son también externos a los cuerpos. Los cuerpos se mueven en el espacio y en el tiempo. Espacio y tiempo son simples ejes de coordenadas que definen el cambio de posición de los cuerpos. En el espacio newtoniano no hay “arriba” ni “abajo”, simplemente hay fuerzas que gobiernan los cambios de posición y de movimiento.

Las dos concepciones encuentran su escena de dramático contraste en la famosa demostración realizada por Galileo en la torre de Pisa. Galileo, con una concepción pre-newtoniana opuesta a la concepción aristotélica que dominaba los ambientes escolásticos de la época, se le ocurre que cuerpos de diferente peso caen con igual rapidez; que, de haber pequeñas diferencias en el tiempo de caída, éstas se deben a factores externos, tales como la resistencia ofrecida por el aire. Nótese que Galileo, bajo una concepción definitivamente moderna, está imaginando un cuerpo aislado de factores ambientales que circunstancialmente rodean a todo ente físico. Se trata, como ya explicamos, de un concepto matemático. Galileo invitó a sus colegas profesores de la universidad de Pisa para que presenciaran su atrevida demostración. Pretendía el genio italiano lanzar desde la parte superior de la torre dos cuerpos de diferente peso con el fin de demostrar que llegaban al suelo al mismo tiempo. Sus colegas profesores, cultivados dentro de la concepción aristotélica, obviamente esperaban que el cuerpo más pesado tocase tierra primero. Galileo dejó caer los cuerpos simultáneamente y, para su desgracia, no tocaron tierra al mismo tiempo. Los otros escolásticos vieron reafirmada su teoría. Pero, asombrosamente, Galileo insistía que su teoría era la que había sido mostrada con el experimento, y que la pequeña diferencia se debía sólo a la resistencia del aire. La obstinada y, a los ojos de sus colegas, absurda posición de Galileo le costó su puesto de profesor en la Universidad de Pisa. ⁵

Tanto Galileo como sus oponentes aparentemente presenciaron “el mismo” hecho; sin embargo, sus interpretaciones eran totalmente diferentes. Cada cual interpretaba lo que veía de acuerdo con dos concepciones muy distintas con respecto a los cuerpos, al tiempo, al espacio y al movimiento. El experimento de la torre de Pisa establecía un muro divisorio en el pensamiento occidental. Galileo quedaría del lado de acá, del lado de la modernidad. Sus colegas quedarían detrás del muro, bajo una concepción que lentamente moriría.

II.6 La forma metodológica del Proyecto Matemático de la Ciencia Moderna

Ahora podemos ver con mayor claridad los contornos del proyecto matemático de la ciencia moderna, cuyo hilo conductor lo podemos resumir en los siguientes pasos:

1. El supuesto fenómeno bajo estudio se reduce drásticamente a ciertos axiomas que se refieren a seres abstractos, matemáticos, y a sus determinaciones iniciales.
2. Los axiomas son conectados mediante la razón deductiva con el propósito de derivar nuevas relaciones e hipótesis concernientes a ciertos asuntos de hecho.
3. Las hipótesis así resultantes son contrastadas con la realidad experimental. La naturaleza de este contraste o prueba había sido penetrantemente comparado por Kant con el juez que obliga a sus testigos a responder las preguntas que él decide formular, para así construir su argumento. Esto es, la razón proyecta sus formas en la naturaleza y recoge las imágenes de esa proyección.
4. La prueba de las hipótesis se realiza mediante la inducción. Se diseñan experimentos que muestren la significación estadística de la relación entre ciertos hechos, indicada a priori en la hipótesis.
5. Finalmente, las hipótesis así demostradas se convierten en nuevos nudos de la red conceptual que va tejiendo el proyecto matemático.

Esta ha sido, en gruesas pinceladas, una posible respuesta al fundamento del éxito de la física, de su rigurosidad, de su camino seguro, como dirían Kant y los representantes del positivismo que luego desfilarían por las veredas de la historia de la ciencia moderna.

Antes de terminar esta sección referente al “proyecto matemático de la ciencia moderna” quisiera plantear algunas nuevas dudas que lo anterior no responde:

II.7 La dificultad de jugar fuera del tablero de juego

Newton ingenió un cuerpo axiomático que le permitiese construir leyes acerca del movimiento de esos nuevos seres desprovistos de particularidad y de circunstancialidad denominados “cuerpos”. Es decir, Newton creó un juego con fichas conceptuales que se moverían en un tablero del juego y bajo unas reglas de juego también creados por Newton. Tal como Kant lo descubrió con gran agudeza, una vez creado este juego, la naturaleza –o, mejor dicho, ciertas características de las cosas naturales– fueron llamadas como testigos de las piezas del juego ante el tribunal definido por el juego. De este modo, la riqueza ontológica de las cosas se recuece a su condición de simples testigos dóciles en términos de ciertas propiedades calculables. Pensado así el asunto surgen ciertas interrogantes:

¿Sería posible lograr una reducción de esa magnitud en otras ciencias con la finalidad de operar con los dóciles seres matemáticos? Por ejemplo, en el caso de las ciencias humanas, ¿qué queda de las sociedades o de un ser humano particular si eliminamos su circunstancia histórica?

Por otra parte, ¿puede el proyecto matemático avanzar indefinidamente, aun cuando logre partir de reducciones convenientes? A la luz de lo que va de este siglo la respuesta parece ser negativa. No puedo ahora tratar de responder este punto, pero permítaseme sólo enunciar dos de las graves heridas que el positivismo racionalista sufrió en este siglo desde su propio interior: El teorema del Gödel, en la lógica matemática, se encargó de mostrar que, ni aún los sistemas axiomáticos considerados como más perfectos podrían ser cerrados en sí mismos. Por otra parte, el principio de Heisenberg dio al traste con la fe positivista de la física al ilustrar, a nivel atómico, lo que ya la filosofía sabía desde hacía muchos años: a saber, que, en última instancia, lo observado es, necesariamente, dependiente del observador y de su punto de observación.

El absolutismo que acompañó al racionalismo del proyecto matemático comienza así a desmoronarse ante un relativismo esencial en el que cada cosa es ontológicamente dependiente de un cierto contexto interpretativo. Dentro de este relativismo, la consabida causalidad eficiente lineal se enfrenta con una nueva forma lógica que difícilmente puede ser llamada causalidad: una cierta X no puede ser sin una cierta Y, pero que, además, simultáneamente, esa cierta Y no puede ser sin aquella X.

El nuevo pensamiento relativista, que consigue anidar en variadas formas y lugares del pensamiento desde el Siglo XX viene signado –tal vez condenado– por una nueva preocupación. Se preocupa por mirar lo que con los respetables conceptos matemáticos clásicos y con la tradicional lógica no pede mirar. Se preocupa por mirar la mirada.

…Y “mirar la mirada” de las matemáticas, o por lo menos ciertos aspectos lógico-históricos de la misma, es lo que hemos pretendido en esta primera y principal sección del presente opúsculo. Quisiéramos ahora, a partir de lo aprendido, obtener algunas lecciones referentes a la enseñanza y el aprendizaje de lo que, en su origen griego, nombrado como ta mathemata, era lo enseñable y aprendible por excelencia. Para este propósito debemos reflexionar sobre las condiciones lingüísticas propias del pensamiento matemático en relación con el lenguaje básico de cualquier cultura.

III. El juego lingüístico de las matemáticas y su vinculación con el lenguaje básico

Las matemáticas pueden ser vistas como una serie de “juegos lingüísticos” que pretenden construirse sobre la base del “lenguaje básico” de cada cultura particular. Para que esta caracterización de las matemáticas sea comprensible necesitamos abrir un paréntesis para explicar estas dos nociones: “juego lingüístico” y “lenguaje básico”.

III.1 “Juegos lingüísticos” y “lenguaje básico” ⁶

Imagínese una carpintería en la que varias personas, de un modo organizado, contribuyen a fabricar muebles de madera. Imagínese, en los mismos términos, una zapatería, o una finca destinada a la agricultura. Imagínese, también, una orquesta musical, especialmente cuando los músicos realizan sus prácticas antes de las presentaciones públicas. Asimismo, imagínese un buen departamento universitario que tiene a su cargo actividades de investigación y enseñanza cuando sus miembros se reúnen para discutir escritos, realizar trabajos de investigación, planificar actividades. Mientras los miembros de estas organizaciones trabajan juntos, hablan sobre lo que están haciendo en un lenguaje un tanto diferente del de los miembros de las otras organizaciones. Todos hablan, digamos, español; pero los “juegos lingüísticos” que dentro del español se usan son diferentes. Estos “juegos lingüísticos” son, en su forma más superficial, la jerga mediante la cual se comunican los integrantes de cada práctica.

Estoy usando esta frase, “juego lingüístico”, en el sentido que entiendo es usada en el libro “Investigaciones Filosóficas” de Ludwig Wittgenstein (1978). Uno de los ejemplos que Wittgenstein usa para caracterizar lo que llama “juego lingüístico” son esos juegos infantiles en los que los niños cantan una canción mientras realizan, en conjunto, una serie de actividades (“acciones dentro de las cuales se teje un lenguaje”, p. 5) relacionadas con la letra de la canción (e.g. “A la víbora de la mar”). En general, se trata de un modo de hablar “entretejido” con un modo de actuar (o, un modo de actuar entretejido con un modo de hablar), diferente de otros modos de “hablar-actuar”, en el que el modo de hablar le da sentido al modo de actuar (además, lo comanda, comenta, reporta, proyecta); y en el que el modo de actuar realiza, le da sentido, concreción y ubicación al modo de hablar; de manera que no es posible ni pensar ni vivir el modo de actuar sin el modo de hablar, ni el modo de hablar sin el modo de actuar. La unidad indisoluble que ellos constituyen se llama “juego lingüístico”. En un juego lingüístico, las palabras son comprensibles en términos del contexto brindado por todo el juego lingüístico. Pero esta condición de “ser comprensible” va más allá de la idea tradicional de “significado” –como ese “significado” de las palabras que conseguimos en un diccionario. Más bien, siguiendo a Wittgenstein, podríamos decir que el juego lingüístico define el uso de las palabras, en un sentido similar al hecho de que el juego de ajedrez define el uso de cada pieza dentro del mismo. ⁷

En algunos casos, la diferencia entre los diferentes juegos lingüísticos es tal que, por ejemplo, un carpintero tendría serios problemas para entender la discusión sobre posibles casos quirúrgicos que tiene lugar en una reunión de neurólogos y neurocirujanos. Sin embargo, normalmente existe tal cosa como un lenguaje básico (o, si se quiere, un sistema de “juegos lingüísticos” menos especializados y más compartidos por todos lo miembros de una cierta sociedad) en cuyo espacio es posible pensar y hablar otros asuntos de la vida compartidos de manera más general por todos (o por la mayoría) de los miembros de una cierta cultura. Es en ese lenguaje básico donde el carpintero y el neurólogo se pueden comunicar para intercambiarse explicaciones de lo que, originalmente, fue hablado en la jerga especializada de cada uno. Es en ese lenguaje básico en el que tanto el carpintero como el neurólogo podrán pensar y hablar sobre lo que les ocurre en su casa con su familia; sobre lo que ocurre en su ciudad; sobre lo que es bueno y malo para su familia, su vecindario, su ciudad y su país; sobre cómo su práctica particular de carpintería o neurología se inserta en el resto de la vida de cada uno y en la vida de su sociedad. Es en ese lenguaje básico en la que la misma jerga especializada puede ser hablada –es decir, es en él donde habitan tanto las palabras especializadas como las reglas de un juego lingüístico particular. Es en ese lenguaje básico, y sólo en él, donde es posible pensar, hablar y actuar bajo una moralidad y una cierta noción de justicia para todos los ciudadanos que vaya más allá de las prácticas específicas. En fin, es en ese lenguaje básico donde tiene su lugar, tanto el sentido de lo que ocurre fuera de las prácticas especializadas, como el sentido de cada una de esas prácticas como tal.

III.2 Las matemáticas pensadas como juegos lingüísticos

Las matemáticas podrían ser pensadas como un conjunto de “juegos lingüísticos”, en cada uno de los cuales se definen una serie de entes (o piezas del juego), un espacio en el que se realiza el “movimiento” de los entes y tienen lugar las relaciones u operaciones que se establecen entre ellos (tablero del juego), y una serie de reglas de operación y movimiento con esos entes (reglas del juego). Aunque las palabras que designan los entes y las reglas de operación puedan ser parte del lenguaje básico, su sentido (uso), dentro del rigor de juego, es, generalmente, un tanto diferente.

Por ejemplo, en el juego de la aritmética de primaria (no así en el de la “aritmética” en un sentido algebraico abstracto), el uso de palabras y frases como “cinco” y “sumar 3 más 5” es muy parecido al uso cotidiano que dentro del lenguaje básico tienen frases como: “cinco metras” y “añadir o sumar las 3 metras tuyas y las 5 mías para saber cuántas tenemos entre los dos”. Sin embargo, en el caso de una noción aritmética tan sencilla como la de “resta” o “substracción”, la cosa se complica un poco más –y, tal complicación, vale la pena adelantarlo, es, precisamente, uno de los problemas que enfrenta el aprendizaje de esa operación denominada “substracción”. En efecto, una vez que el niño aprende que, por ejemplo, “restar” significa “quitar” (substraer) un cierto número de cosas de un número mayor de esas mismas cosas ⁸, debe descubrir que hay otra actividad (operación) muy diferente a esa de “quitar” que también entra, sin razón aparente alguna, dentro de eso que, en la aritmética, se llama “restar”. La nueva actividad consiste en contar cuánto falta para llegar desde un número menor a uno mayor. ⁹ Para aquél (jugador) que ya ha sido entrenado durante años en el juego aritmético, ambos problemas se le presentan como “el mismo” problema; y, de este modo, le cuesta ver que en el lenguaje básico, antes de ser pervadido por el juego lingüístico de la aritmética, son problemas diferentes. ¹⁰ Obviamente, esta dificultad del maestro (jugador) para “ponerse en el lugar” del lenguaje básico antes de ser pervadido (unas veces enriquecido, otra veces empobrecido) por el juego lingüístico del caso es un obstáculo en la enseñanza del nuevo juego lingüístico.

La diferencia entre el uso de palabras aparentemente comunes al lenguaje básico y a ciertos juegos lingüísticos matemáticos se hace mucho mayor en la medida en que la matemática sigue su camino progresivo de abstracción. Sin salirnos mucho del ejemplo anterior, cuando, por ejemplo en el álgebra lineal de nivel universitario, se define un “cuerpo” o “campo” como un conjunto de “escalares” (entes o piezas del juego) y dos operaciones llamadas “suma” y “multiplicación” (reglas de operación), le cuesta al aprendiz darse cuenta de que los entes y las operaciones son mucho más abstractas que las aprendidas en la aritmética de primaria y secundaria: Los “escalares” no necesariamente son números, pueden ser funciones o cualquier otro ente abstracto, como, por ejemplo, el conjunto: . Las operaciones llamadas “suma” y “multiplicación” pueden estar definidas como se hizo en la aritmética básica, pero también pueden estar definidas de modo completamente diferente; por ejemplo mediante una tabla en la que se muestra que la “suma” de cualquier par de “escalares” del conjunto resulta en un cierto escalar del mismo conjunto. Con este nuevo ejemplo observamos cómo el uso de ciertas palabras del lenguaje básico que el juego lingüístico de la aritmética básica ya había transformado un tanto vuelve a ser transformado en el nuevo juego lingüístico del álgebra lineal.

Pero la dificultad y complejidad de la vinculación entre los juegos lingüísticos matemáticos no termina en esas transformaciones que va sufriendo el lenguaje básico en su paso por sucesivos juegos lingüísticos. El asunto se torna más complejo cuando descubrimos que todo el proyecto matemático de la ciencia moderna es un gran juego lingüístico que reúne una gran cantidad de juegos lingüísticos particulares provenientes de disciplinas matemáticas particulares y de otras disciplinas.

III.3. El Proyecto Matemático de la Ciencia Moderna: Un juego lingüístico de juegos lingüísticos

En efecto, como ya explicamos en la sección II de este artículo, el secreto del proyecto matemático de la ciencia moderna (puesto al descubierto por Kant) consiste en creación de un sistema conceptual en el que se definen ciertos entes abstractos, ciertas reglas de operación y, generalmente de modo implícito, un “espacio” en el que los entes se mueven y relacionan entre sí. Ciertos aspectos de los fenómenos naturales son llamados para ser testigos de un comportamiento ya prescrito dentro del sistema conceptual. Puesto en los términos de la presente sección, obviamente estamos hablando de gran “juego” que define lo que antes llamamos “proyecto matemático de la ciencia moderna”. Se trata de un complejo juego de juegos que discurre en el lenguaje, por tanto, se trata de un complejo “juego lingüístico” constituido por una serie de “juegos lingüísticos”. Por ejemplo, los Principia Mathematica de Newton definen una modalidad (la de la física clásica) de este gran juego lingüístico. Pero, en el interior de dicho juego, “juegan”, por así decirlo, la aritmética, el álgebra y el cálculo diferencial e integral.

Aprender tanto cada uno de los juegos lingüísticos como el gran juego lingüístico del proyecto matemático requiere hacerse diestro en un modo pensar-actuar especializado en relación con el pensar-actuar propio del lenguaje básico. Y, tal cosa como hacerse diestro en un juego lingüístico tiene requisitos e implicaciones que, generalmente, no son comprendidas por los que intentamos ser maestros en el adiestramiento en tales “juegos”. ¹¹

En la siguiente sección recapitularemos sobre algunos de esos requisitos e implicaciones, para finalizar poniendo de manifiesto lo que consideramos ser el problema más profundo que aflora cuando, a partir de lo expuesto en este opúsculo, examinamos lo que está ocurriendo con nuestro lenguaje básico actual.

IV. Reinterpretación de la problemática de la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas

Enseñar matemáticas, desde el punto de mira aportado por el desarrollo conceptual del presente artículo, es adiestrar en los juegos lingüísticos de las matemáticas. Reconsideremos qué significa, en general, el “adiestramiento” en cualquier juego lingüístico especializado para, a partir de tal consideración general, obtengamos algunas lecciones sobre el “adiestramiento” en un juego lingüístico matemático.

IV.1 El “adiestramiento” en juegos lingüísticos especializados

Por razones de extensión limitaré el problema del adiestramiento a dos problemas básicos: lo que llamaré “problema del desarraigo del juego lingüístico especializado con respecto al lenguaje básico” y lo que llamaré el “problema de la transformación del aprendiz mediante el entrenamiento”.

IV.2.1 El problema del desarraigo del juego lingüístico especializado con respecto al lenguaje básico

Tal vez la diferencia fundamental entre un juego lingüístico especializado y el lenguaje básico (el cual también puede ser pensado como un juego lingüístico) es que el primero se construye sobre la base del segundo: El juego lingüístico especializado se fundamenta, se alimenta continuamente de y alimenta al lenguaje básico. ¹² Si el juego lingüístico especializado se viese como un árbol, el lenguaje básico sería la tierra en la que está sembrado. ¹³ Siendo esto así, resulta obvio que el problema fundamental del adiestramiento en un juego lingüístico especializado consiste en su arraigo (o construcción de su “cimiento”) en el lenguaje básico. Si la raíz del juego lingüístico especializado en el lenguaje básico es débil, el juego lingüístico especializado y su vinculación con la vida del aprendiz serán débiles. Si el arraigo es inexistente, el “juego” dentro del juego lingüístico especializado se reducirá a una serie de actos “esquizofrénicos” ¹⁴ sin sentido para la vida del aprendiz.

En el caso de las matemáticas, frecuentemente se obvia ese problema fundamental de la enseñanza-aprendizaje: se pretende enseñar el juego lingüístico especializado de manera desarraigada de su lenguaje básico. Uno de los modos cómo opera este desarraigo es la viciosa enseñanza precoz de “recetas” que impiden el uso de la “intuición” (el pensamiento a partir del nivel del lenguaje básico) que permite comprender el nuevo conocimiento y su terminología dentro del nivel del lenguaje básico. Un ejemplo típico de tal situación ocurre en la enseñanza de fracciones (quebrados) y las operaciones que las regulan. Se presentan las fracciones como un par de números que se colocan uno arriba del otro y se separan por una “rayita”; luego se enseña una receta sin fundamento para sumar y restar estos extraños números. El resultado es que el aprendiz no logra conectar este asunto desarraigado y “fastidioso” con problemas matemáticos que se presentan en la vida cotidiana. En este caso de las fracciones, en lugar de la receta a priori, habría que “sembrar”, primero que todo, la idea de “fracción” a partir de la idea de picar unidades (tortas, litros, etc.) en partes iguales y contar estas partes. Después de lograr una buena familiarización con esta noción de fracción sembrada en el lenguaje básico, se puede presentar el problema de sumar y restar “fracciones” del mismo tipo (con el mismo denominador diría el jugador más avanzado –pero a esta altura aun no hablamos de “numerador” ni de “denominador”–) usando la misma lógica aprendida en la suma y resta de cualquier tipo de entes (en lugar de sumar mangos se suman “quintos” de torta). Después se plantearía el problema de sumar fracciones de tipo diferente (e.g. cuartos con sextos) y se induciría la idea de picar cada fracción dada en nuevas fracciones para lograr, finalmente, el mismo tipo de fracciones (picar cada cuarto en tres partes y cada sexto en dos partes de manera tal de tener doceavos en ambos casos). Después de un período de entrenamiento, mediante ejercicios, a este nivel intuitivo (a nivel del lenguaje básico y su previo enriquecimiento con la aritmética básica), se puede comenzar a colocar nombres a las partes de la fracción y a inducir los métodos operativos como “trucos” que el mismo aprendiz debe descubrir para aligerar una tarea ya bien sembrada en el lenguaje básico.

El anterior ejemplo de las fracciones ilustra lo que, a mi modo de ver es uno de los dos problemas mayores en la enseñanza de las matemáticas –el problema del desarraigo del lenguaje básico. Pero, en el mismo ejemplo, ya está implícito el otro problema básico del adiestramiento en un juego lingüístico especializado: a saber: el problema de la transformación de aprendiz mediante el entrenamiento.

IV.2.2 El problema de la transformación de aprendiz mediante el entrenamiento

Lo que somos y lo que nuestro mundo es lo somos y lo es en el lenguaje donde nos dibujamos y donde se dibuja nuestro mundo. Obviamente, la concepción de lenguaje en la que nos estamos moviendo cuando afirmamos lo anterior no es la típica concepción instrumental del lenguaje entendido como “medio de comunicación”. El lenguaje no es un “medio” o “instrumento” a nuestro alcance que, junto con otros instrumentos, usamos para fines específicos. Los fines, específicos o generales, los medios y los instrumentos, la posibilidad de la comunicación –todo esto y mucho más: en general nosotros y nuestro mundo– está ya inscrito en el lenguaje antes de pronunciar cualquier palabra. El lenguaje es eso a partir de lo cual hablamos; es lo que nos dice qué decir. Es cierto, nosotros hablamos y escribimos para comunicarnos –en este sentido, “hacemos uso del lenguaje”. Pero, antes de ese uso y para que ese uso sea posible, nosotros somos usados por el lenguaje como sus hablantes. ¹⁵

Una de las tantas implicaciones de tal concepción sobre el lenguaje es la siguiente: aprender el lenguaje básico no es otra cosa que hacerse humano sobre el tejido de una cierta cultura. Aprender un juego lingüístico especializado arraigado en un lenguaje básico (el cual se va transformando con ese aprendizaje) es emprender un proceso de transformación del aprendiz. Esto último significa que la enseñanza de un juego lingüístico especializado como el de las matemáticas, si se realiza de manera arraigada en el lenguaje básico, no puede ser considerado ni como la entrega de un conjunto de conocimientos que se depositan en el recipiente cognoscitivo del aprendiz ni, mucho menos, como el aporte de un conjunto de herramientas que se le facilitan a un artesano para realizar su trabajo. Fundamentar implícitamente la enseñanza en una tan limitada concepción la condena al fracaso. Así como se condenaría al fracaso la enseñanza de una disciplina deportiva si se redujese a enseñar los elementos del juego y sus reglas sin jugar. ¹⁶ Menciono este ejemplo por que, tal vez, la enseñanza de ciertas disciplinas deportivas está más imbuida con esta idea de la transformación del aprendiz que buena parte de lo que hacemos en la enseñanza de, por ejemplo, las matemáticas. El buen entrenamiento en esas disciplinas deportivas implica un proceso de transformación del cuerpo y de la disposición corporal del aprendiz de manera que sea apto para el deporte en cuestión. Su secreto, obviamente, radica en la ejercitación disciplinada. Asimismo, en las matemáticas, al proceso de adiestramiento en esos juegos lingüísticos especializados le es esencial una ejercitación disciplinada que permita la adecuada transformación del aprendiz. Tal ejercitación disciplinada se puso de manifiesto en nuestro sencillo ejemplo de la enseñanza de las fracciones.

IV.3 Perplejidad final y primaria: ¿Qué pasa cuando el lenguaje básico de la cultura en cuestión se encuentra en un estado crítico de degeneración y fragmentación?

Todo lo anterior partió de la suposición implícita de que el lenguaje básico del caso, a nivel de toda la cultura del caso, se encuentra en un buen estado. Pero, ¿qué pasa si este no es el caso?

Supongamos que, en una cierta sociedad, el lenguaje básico comenzara a sufrir un proceso de profundo deterioro y olvido. Si ese fuera el caso, la posibilidad de comprender (de hacer sentido) y dar cuenta de lo que ocurre en la vida cotidiana dentro de un contexto más amplio que la mera ocurrencia también sufriría un profundo deterioro. Pero lo mismo sucedería con la posibilidad de comunicación entre ciudadanos integrantes de prácticas diferentes, y hasta entre miembros de la misma práctica. La posibilidad de una moralidad y una práctica de la justicia para todos los miembros de esa sociedad se verían seriamente perturbadas. Nótese que no estamos simplemente diciendo que una cierta moralidad y una cierta concepción de justicia se vería amenazada; estamos diciendo que la posibilidad misma de la moralidad y de la justicia se deterioraría profundamente. En general, si el lenguaje básico sufriese esa degeneración, el lenguaje y el pensamiento se fragmentarían de modo tal que lo que ocurre iría perdiendo sentido. Por supuesto –y, he aquí lo más macabro del asunto– si esto llegase a pasar no nos daríamos cuenta de ello; no nos daríamos cuenta, por la sencilla razón de que lo primero que afectaría la fragmentación del pensamiento sería nuestra capacidad de comprender ese tipo de situaciones complejas, cuya percepción, obviamente, requiere una visión holística.

Pensamos que la anterior situación –presentada hasta ahora como imaginaria y que parece extraída de una novela de ciencia-ficción– no está muy lejana de la situación que viven actualmente las culturas occidentales (tanto las del “centro” como las “marginales” –cada una, claro está, a su modo). En términos generales podemos resumir el problema que enfrentamos del siguiente modo:

1. La última narrativa matriz de Occidente –la del progreso–, se ha ido extinguiendo.
2. Hasta ahora no ha aparecido dentro del lenguaje básico una nueva narrativa matriz verdadera que substituya la anterior. Una “narrativa matriz verdadera” es aquella que pueda dar la mejor cuenta posible de cómo llegamos a ser lo que somos y, por consiguiente, de lo que nos ocurre en el presente. ¹⁷
3. La narrativa matriz es el hilo conductor del lenguaje básico.
4. Por lo tanto, la medida de la ausencia de una narrativa matriz verdadera es la medida del deterioro y fragmentación de un lenguaje básico; de un lenguaje básico que permita que lo que nos ocurre a lo largo de nuestra vida individual y social tenga sentido dentro de contextos de sentido trascendentes; trascendentes en contraste con la fugacidad del presente y con la satisfacción del deseo inmediato.

Si esta hipótesis tiene alguna validez, obviamente, la enseñanza de juegos lingüísticos especializados arraigados en el lenguaje básico –como por ejemplo, los de las matemáticas– confronta esenciales problemas a priori en relación con todas las consideraciones presentadas en este escrito.

El Proyecto de Educación de la Sistemología Interpretativa ¹⁸ surge de esta perplejidad y pretende diseñar un proceso de educación básica que le haga frente.

AGRADECIMIENTO

Agradezco al Consejo de Desarrollo Científico Humanístico y Tecnológico de la Universidad de Los Andes el financiamiento otorgado al proyecto I-668-99-04-A, del cual este artículo es resultado parcial.

NOTAS

1. Centro de Investigaciones en Sistemología Interpretativa, Facultad de Ingeniería, Universidad de Los Andes.
2. En publicaciones anteriores he presentado algunas de las ideas que se exponen bajo este subtítulo. Por ejemplo, en The Ontology and Epistemology of a Systems Approach: A Fundamental Study and an Application to the Phenomenon Development/Underdevelopment. Fuenmayor (1985), fueron desarrolladas con mayor profundidad.
3. Citado por Checkland, 1981, p. 52.
4. Hilo conductor que se oculta cada vez más ante nuestra mirada, en la medida en que la ciencia moderna ha ido afectando nuestra cultura.
5. El caso del incidente de la Torre de Pisa es tomado de Heidegger, 1967, p. 266.
6. Algunas de las ideas correspondientes a esta sub-sección han sido expuestas en un artículo que describe un proyecto de diseño de un nuevo sistema de educación básica coordinado por el autor de este ensayo (Fuenmayor, 2001).
7. Este modo wittgeinsteniano de pensar las palabras en términos de sus usos no tiene nada que ver con la concepción instrumental del lenguaje dominante en nuestros días. Aunque aquí no podemos tratar este asunto, sólo advertiremos que el uso de la palabra “uso” al que nos estamos refiriendo es, más bien, ese envuelto en la frase castiza: “usos y costumbres”.
8. Por ejemplo: “Tenía 20 metras y perdí 7 en el juego. ¿Cuántas me quedaron?”
9. Por ejemplo: “¿Cuántos años faltan para que lleguemos al año 2020?
10. Le ocurre como nos ocurrió con la noción de “cuerpo” después que, mediante el juego lingüístico de la física se incorporó al lenguaje básico y comenzó a ser usada en un sentido más abstracto que el de su uso más cotidiano: el del cuerpo de personas y animales (en contraste implícito con lo que en ellos no es corporal).
11. Creemos que la comprensión de tales “requisitos” e “implicaciones” requiere de una profunda y meticulosa reflexión filosófico-lingüística alimentada de trabajos seminales tales como las “Investigaciones Filosóficas” de Wittgenstein (1978) y “Sobre el camino del lenguaje” de Heidegger (1982). Sin embargo, aquí nos limitaremos a enunciar algunos de esos requisitos e implicaciones.
12. En general, el papel del lenguaje básico con respecto a los juegos lingüísticos especializados se indicó en el último párrafo de la sección III.1 del presente escrito.
13. Esta metáfora sólo pone de manifiesto algunos aspectos de la relación entre un juego lingüístico especializado y su lenguaje básico.
14. El nombre de “esquizofrenia” (del griego s????, escindir, y f???, inteligencia) se refiere originalmente a estados mentales en los que se presentan varias personalidades desconectadas entre sí. Un jugador de juegos lingüísticos especializados que carezcan de “cimientos” en el lenguaje básico vivirá una especie de esquizofrenia.
15. Remitimos al lector interesado en profundizar sobre la concepción de lenguaje que apenas estamos indicando en lo anterior a las obras de Wittgenstein y de Heidegger antes citadas. Allí, en terminologías muy diferentes y dentro de tradiciones filosóficas muy distintas, se dibuja de manera magistral la concepción de lenguaje a la que nos estamos refiriendo. Los aportes de Wittgenstein y de Heidegger en esta materia son, a nuestro modo de ver, los aportes más profundos producidos en el último siglo sobre el ser del lenguaje.
16. Como ridículamente se hace en algunas escuelas cuando se enseña “educación física”.
17. Sería ésta una narrativa que, más que mostrar cómo llegó a ser todo aquello que se nos presenta como objetivo, muestre como llegamos a ver lo que vemos de la manera (o, de ser el caso, de las maneras) como lo vemos; o, mejor aún, que muestre cómo llegó a ser el modo de aparecer lo que aparece (y lo que se oculta) en el presente.
18. Cuyo propósito ha sido resumido en Fuenmayor (2001).

BIBLIOGRAFIA

1. Checkland, P., (1981). Systems Thinking, Systems Practice. Chichester: Wiley.
2. Fuenmayor, R. L. (1985) The Ontology and Epistemology of a Systems Approach: A Fundamental Study and an Application to the Phenomenon Development/Underdevelopment. Tesis doctoral inédita presentada ante el Departamento de Sistemas de la Universidad de Lancaster-Inglaterra.
3. Fuenmayor, R. L. (2001). Educación y la reconstitución de un lenguaje madre. Logoi, No. 4
4. Heidegger, M. (1967). Modern Science, Metaphysics, and Mathematics. En Heidegger, (1977), Basic Writings, ed.: D. F. Krell, Londres: Routledge and Kegan Paul.
5. Heidegger, M. (1982). On the Way to Language. Harper San Francisco, pp. 57-108.
6. Kant, I. (1787). Crítica de la Razón Pura. Traductor P. Rivas, Madrid: Ediciones Alfaguara.
7. Wittgenstein, L. (1978). Philosophical Investigations. Oxford: Basil Blackwell.