“OBSTÁCULOS EPISTEMOLÓGICOS, TEÓRICOS Y PRÁCTICOS, PARA LA CONSTRUCCIÓN DE UNA DIDÁCTICA INTEGRAL DE LA MATEMÁTICA EN LA EDUCACIÓN PREESCOLAR Y BÁSICA”
LA NATURALEZA DE LOS SABERES MATEMÁTICOS CONSIDERADOS EN LOS NIVELES DE LA EDUCACIÓN INICIAL Y BÁSICA

Andonegui Zabala, Martín
UPEL – IPB
Barquisimeto
Email: m_andonegui@hotmail.com

Introducción

Estos son los puntos de reflexión que se proponen:

- La situación de nuestra educación matemática
- Las causas de esta situación; de fondo, la visión que se tiene de la matemática
- Las posibles maneras de ver la matemática
- La visión preponderante de la matemática
- Los procesos de construcción de la matemática del nivel básico
- El análisis de un caso particular: las fracciones
- Las conclusiones: cómo construir la matemática del nivel básico la formación matemática de los docentes

1. La situación de nuestra educación matemática

En términos generales, es muy variada y de envergadura la problemática que afecta al aprendizaje y a la enseñanza de la matemática en el país, particularmente en los niveles iniciales y básico. Entre los indicadores pertinentes pudieran citarse, ante todo -aunque no exclusivamente-, los resultados de los alumnos en estos niveles de escolaridad.

Uno de los primeros estudios, de referencia obligada, es el “Diagnóstico del nivel de conocimientos en Biología, Ciencias de la Tierra, Física, Uso instrumental del lenguaje, Matemática, Química, en estudiantes que egresan del Ciclo Básico Común de Educación Media. Año escolar 1983-84” (Silva y Orellana, 1985). El promedio nacional de la nota obtenida en Matemática fue de 4,77 en una escala de 0 a 50; el más bajo en comparación con los obtenidos en las demás áreas. También cabe resaltar que el 75% de las preguntas fueron catalogadas como difíciles o muy difíciles, ubicándose en estos rangos todas las que exigían del alumno la interpretación o aplicación de un concepto, así como la utilización prevalente del razonamiento sobre la memoria.

El segundo estudio al que queremos referirnos es el producido por el Sistema Nacional de Medición y Evaluación del Aprendizaje (SINEA, 1999), en su evaluación de los resultados obtenidos por una muestra significativa de nuestros alumnos de 3º, 6º y 9º grados de Educación Básica en su desempeño en Matemática. Estos resultados se resumen en el siguiente cuadro:

Obsérvese cómo los resultados se hacen más deficientes, en términos cuantitativos, al pasar hacia grados superiores.

Y, finalmente, para contemplar nuestra situación desde una perspectiva latinoamericana, podemos referirnos a los resultados obtenidos por Venezuela en el Primer Estudio Internacional Comparativo sobre Lenguaje, Matemáticas y Factores Asociados en Tercero y Cuarto Grado (UNESCO-OREALC, 1998).

Este estudio, realizado en el segundo semestre de 1997 y que, en el caso de la matemática, se extendió a una muestra de 54.417 alumnos de los grados mencionados, seleccionados de 13 países de Latinoamérica y del Caribe (3.742 para el caso de Venezuela), procedentes de instituciones escolares públicas y privadas de todos los contextos demográficos posibles, evaluó el desempeño de los estudiantes en los tópicos de numeración, operatoria con números enteros, fracciones comunes, y geometría y medición, así como el desarrollo de las habilidades de interpretar gráficos, reconocer patrones, explorar la noción de probabilidad, y establecer relaciones entre datos.

Estandarizados los puntajes en una escala de 0 a 500 puntos -con una media de 250 y una desviación de 50-, Venezuela ubicó la mediana de sus puntajes de Tercer grado en 220, superando únicamente a Honduras (218 puntos). Y en Cuarto grado se ubicó en la última posición con 226 puntos. Sólo en el cuartil 80 logramos alcanzar el valor de la media. Esta posición por debajo de la media es una constante en todos nuestros contextos demográficos (urbanos y rurales), así como en los diversos tipos de institución (públicos y privados).

A estos indicadores meramente cuantitativos tenemos que agregar los que se refieren a la actitud que nuestros alumnos manifiestan con respecto a la matemática y a su aprendizaje escolar, actitud marcada por su desinterés y temor, y que también se va degradando a medida que progresan dentro del sistema de escolaridad (Andonegui, 1993).

2. Las causas de esta situación

¿Dónde podemos ubicar las raíces de este fracaso escolar en matemática? Compartimos con Mora (2002) no sólo la posibilidad de hallar explicaciones de carácter psicológico, social, económico y cultural, sino también la sospecha de que “los principales factores están relacionados directamente con los métodos de enseñanza desarrollados cotidianamente en nuestras instituciones escolares en correspondencia con la visión que se tiene de la matemática escolar” (Mora, 2002, p. 14). Visión que, a su vez, es tributaria de la que se tiene con respecto a la matemática como disciplina. La pregunta surge espontánea: ¿y cuál es esta visión predominante?

3. Las posibles maneras de ver la matemática

Antes de responder a esta pregunta, debemos formular otra: ¿Existe la posibilidad de considerar la matemática desde una diversidad de perspectivas? La respuesta es positiva y se apoya en lo que -hace exactamente un año y en el ámbito del Primer Encuentro de este Seminario- presentábamos a consideración del auditorio presente (Andonegui, 2004). En esa oportunidad hablamos de la complejidad de la matemática, que se descubre justamente en la posibilidad de abordarla desde diversas perspectivas:

· Epistémica: cuál es la naturaleza del conocimiento matemático, cómo se construyen los objetos matemáticos, cómo se representan, cómo se relacionan entre sí tales objetos, y cómo se valida el conocimiento matemático; es decir, una perspectiva metamatemática.

· Estructuralista, formal: la que se centra en el modo de presentación de los resultados del trabajo de los matemáticos y que responde a los criterios predominantes en la comunidad matemática profesional en este momento de la historia.

· Histórico-constructiva: centrada en descubrir el flujo histórico cultural que posibilita y explica los procesos de construcción de conocimientos matemáticos, así como percibir que en esta aventura humana hay cabida para ensayos y errores, para el ejercicio de la imaginación y de la intuición, para el razonamiento deductivo y para la analogía y la metáfora, para el análisis y para la síntesis…

· Desde los contenidos de la realidad: acceder al conocimiento matemático por la vía de estudiar elementos presentes en el entorno humano, tales como la cantidad, la forma, el símbolo y la representación, la dimensión, los patrones, las relaciones, la determinación y la incertidumbre, la estabilidad y el cambio… (Steen, 1998). Significa la posibilidad de centrarse en la modelación y en las aplicaciones, de venir de, y de abrirse hacia las situaciones y los problemas del contexto humano, científico y social; esta perspectiva posibilita la posición fenomenológica (Freudenthal, 1983, 1991) que percibe los objetos matemáticos como medios de organización de fenómenos, situaciones o contextos.

· Estética: contemplar la matemática desde los predios de las regularidades, de las simetrías y asimetrías, de las generalizaciones y singularidades; desde la perspectiva de la belleza, de la simplicidad, de la elegancia, tanto de sus resultados como de la forma en que se trabaja la propia matemática; y también, desde la perspectiva de todas las propiedades matemáticas que se hallan presentes en el hecho estético, natural o artístico (literatura, artes plásticas, música…).

4. La visión predominante de la matemática

Es decir, es posible una visión compleja de una matemática compleja, más allá de la mera contemplación de la estructura, de la operación y del teorema. Pero volvamos a la pregunta que dejamos pendiente: ¿Cuál es la visión predominante que nuestros docentes tienen de la matemática? La respuesta es que la perspectiva predominante -y con frecuencia, exclusiva- es la estructuralista, la formal, la de la matemática como producto terminado, como producto de presentación oficial.

Y en este sentido, podemos extender a nuestro medio lo que Socas y Camacho aseguran de los docentes españoles:

Podemos indicar como un hecho cierto que muy pocos profesores de matemáticas tienen una formación adecuada respecto a lo que están enseñando en términos de un conocimiento matemático como proceso, es decir, como un conocimiento que debe ser considerado desde una perspectiva histórica/crítica, contextualizado y que tiene relaciones con las sociedades y culturas donde nace y se arraiga. La tendencia más común es considerar el conocimiento matemático como un producto acabado, que implica abordar el conocimiento en su fase actual, descontextualizado, basado en el análisis lógico, donde las relaciones se establecen sólo a nivel de conceptos matemáticos. Esta concepción es insuficiente. (Socas y Camacho, 2003, p. 167).

La respuesta a la pregunta acerca de la visión predominante de la matemática nos interesa porque constituye la clave para responder la pregunta central en este ensayo: ¿Qué naturaleza se atribuye a la matemática escolar, la que se maneja en los niveles de la Educación Básica? Para contestarla, veamos los posibles procesos que dan como resultado dicha matemática.

5. Los procesos de construcción de la matemática del nivel básico

Socas y Camacho (2003) mencionan dos de tales procesos: la elementarización, como reducción de un contenido matemático a formas más elementales, que se consideran fundamentales y accesibles para los alumnos (Biehler et al., 1994), y la transposición didáctica, proceso mediante el cual se organiza el saber matemático a enseñar, a partir del saber disciplinar, por medio de acciones didácticas (Chevallard, 1991). Obsérvese que en ambos procesos la percepción que se tiene de la matemática es la del cuerpo disciplinar organizado estructuralmente: se trata de elementarizar o de transponer didácticamente esos contenidos formales. No se habla, por ejemplo, de considerar la perspectiva histórica constructiva de los conocimientos matemáticos, ni su función modeladora y de aplicabilidad, y de intentar “llevarlas” al nivel elemental.

De ahí que presentar en el aula elementos histórico-culturales clarificadores, o intentar procesos constructivos con los alumnos, o intentar relacionar matemática y entornos vitales por la vía de la modelación y de las aplicaciones -la actitud de reinventar la matemática, de la que habla Freudenthal (1991)-, se consideran siempre como agregados al discurso matemático, productos del esfuerzo didáctico de la institución escolar o del docente, pero ajenos a ese discurso “estrictamente” matemático. En otras palabras, no se considera como responsabilidad del discurso matemático el que tenga que presentarse con esos rasgos “adicionales”...

Y esta es la perspectiva que consideramos insuficiente. No es que la didáctica de la matemática sea ajena a la preocupación por considerar elementos históricos, de modelación y aplicación al mundo de la vida de los educandos, y por la participación activa de éstos en la construcción de los conocimientos matemáticos. Evidentemente, también son de su incumbencia. Lo que queremos destacar es que, previamente, esos rasgos también forman parte del propio ser de la matemática como disciplina.

Por consiguiente, no podemos aceptar que la matemática del nivel escolar básico se determine a partir de los procesos de elementarización o de transposición didáctica del mero saber matemático formal o estructurado (savoir savant), aun cuando se intente aplicar posteriormente una serie de procesos de “destransposición” cuyo objetivo sería ir paliando la “simplificación” temática que toda transposición didáctica acarrea (Antibi & Brousseau, 2000).

Nuestra posición es que debe partirse de una visión compleja e integral de la matemática, que trascienda las limitaciones de esta perspectiva exclusivamente formal y tome en cuenta también, particularmente, la perspectiva histórico-constructiva y la que contempla la matemática desde los contenidos de la realidad, de cara a la modelación y a las aplicaciones.

6. Análisis de un caso particular: las fracciones

Vamos a revisar brevemente algunos de los planteamientos que se hacen acerca de este objeto matemático. Pero antes debemos dejar establecido que el concepto matemático disciplinar -del ámbito del “savoir savant”- al que hacen referencia las fracciones es el concepto de número racional.

Digamos, en primer lugar, que el tema de la construcción del objeto matemático fracción no está dilucidado por completo y de una manera definitiva. Son múltiples los enfoques utilizados para su conceptualización. Así, Vergnaud (1983, 1988) parte de la consideración de las fracciones como elementos del campo conceptual multiplicativo. Kieren (1976) habla de cinco subconstructos necesarios (sin mencionar explícitamente a la fracción) para desarrollar el concepto de número racional: parte-todo, medida, cociente, razón, y operador multiplicativo. Además, Kieren (1988) elabora una red ideal de relaciones entre tales subconstructos que desemboca en el concepto de número racional. Por su parte, Lesh, Post y Behr (1988) establecen el concepto de fracción al diferenciarlo de los conceptos de rata, razón, y cociente. Freudenthal (1983) menciona tres aspectos fenomenológicos de la fracción: como fracturador (quebrado, parte-todo), comparador, y operador; y sugiere que, a su vez, las fracciones son la fuente fenomenológica del número racional.

Ohlsson (1988) intenta explicar toda esta variedad al afirmar que la dificultad existente para definir el concepto de fracción tiene una raíz semántica, consecuencia de la naturaleza compuesta de las fracciones, lo que acarrea una falta de clarificación en las distinciones entre los objetos mencionados antes: fracciones, medidas, cocientes, operadores, ratas, razones, proporciones, números racionales. Para Ohlsson, todos estos son términos de un campo semántico diferenciado. Su hipótesis de trabajo es que todos ellos no son estrictamente términos matemáticos, sino términos de aplicación, es decir, referidos a las aplicaciones de ciertas teorías matemáticas a situaciones del mundo real.

Así, según el autor, para entender el significado de un término como fracción, tenemos que prestar atención a la teoría matemática en la que las fracciones están inmersas, a la clase de situaciones del mundo real a las que las fracciones se aplican y, finalmente, a las relaciones que se establecen entre la teoría matemática y las situaciones referidas.

En resumen, y siguiendo la interpretación de Ohlsson, podemos verificar cómo para todos los autores mencionados, en el establecimiento del concepto de fracción que se va a presentar en el nivel básico de la enseñanza, hay una visión de la matemática que no se reduce a la parte estrictamente formal -el concepto formal de número racional, que sería sometido a un proceso de elementarización, o de transposición didáctica-, sino que integra la perspectiva de aplicación, de referencia a situaciones del mundo real.

Sin embargo, en todas estas posiciones se observa la ausencia de referencias a elementos históricos que bien pueden clarificar algunos aspectos no siempre precisos. Por ejemplo, la disyuntiva de si básicamente una fracción indica una relación parte/todo o si, más bien, se trata de la expresión de una medida, pierde su carácter de mutua exclusión u oposición (Escolano y Gairín, 2005) si se adopta una perspectiva histórica.

Desde esta perspectiva, el objeto fracción aparece para dar cuenta de situaciones cotidianas tales como los repartos de herencias, bienes y tierras, o el pago de tributos, diezmos e impuestos, y otras más, en las que, además de las cantidades enteras implicadas, aparecía un nuevo elemento a considerar: la relación entre la parte (la porción de tierra recibida, el monto del tributo o impuesto pagado…) y el todo (la superficie total de la tierra a repartir, el total de los bienes poseídos…).

Como la parte y el todo venían denotados por números naturales, se requería una nueva expresión -un nuevo tipo de número…- para indicar esa relación entre dos números naturales. Este es el significado cultural primigenio de la fracción: la expresión numérica de la relación entre una parte y el todo. Este requerimiento cultural -“números que representan fracciones”- aparece plasmado en símbolos abstractos ya desde las culturas babilónica y egipcia.

Ahora bien, la idea de que las fracciones eran realmente números se consolidó a partir del Renacimiento. “En 1585, Simon Stevin da la idea de una solución que imperará durante tres siglos, al proponer una nueva definición: número es aquello mediante lo que se explica la magnitud de alguna cosa” (Ferreirós, 1998, p. 8). Definición que Newton clarifica en 1707, en su Arithmetica Universalis: “Entendemos por número no tanto una multitud de unidades cuanto la razón entre una cantidad abstracta cualquiera y otra del mismo género que se toma por unidad” (citado en Ferreirós, 1998, p. 8).

De esta manera, una fracción como 2/3 -que inicialmente sólo representaba la relación entre la magnitud de la parte y la del todo del que procedía- se interpreta también como un número que mide el “número de veces que la parte está contenida en el todo, considerado éste como la unidad”. Así, las fracciones, como los números naturales y hasta los propios números irracionales, se convierten en números-medida de magnitudes comparadas con la unidad. Por consiguiente, todos ellos pueden representarse como puntos de la recta numérica.

La referencia histórica se convierte también en un buen argumento para diferenciar los objetos matemáticos fracción y razón. Recordemos que los pitagóricos (s. VI a.C.) consideraban como números solamente a los números naturales. Pensaban, además, que la naturaleza se reducía a estos números, en el sentido de que todo objeto podía expresarse con un número (su medida o magnitud), y las relaciones entre objetos (entre sus magnitudes), siempre como una relación entre números naturales.

Para lograr esta relación suponían que siempre funcionaría el principio de conmensurabilidad, es decir, que dadas dos magnitudes (por ejemplo, dos segmentos), siempre era posible encontrar una magnitud (un segmento) menor que “encajara” un número exacto de veces en cada una de las dos magnitudes (los dos segmentos) relacionadas. Es decir, dados los segmentos a y b, podía suceder que ni a encajara un número exacto de veces en b, ni viceversa. Pero entonces, siempre era posible encontrar un segmento menor c, tal que estuviera contenido “n veces” en a y “m veces” en b, con lo que la relación entre a y b podía denotarse mediante la expresión n/m. Por ejemplo, si la longitud de un segmento a era “una vez y media” la de un segmento b, c sería la mitad del segmento b, con lo cual b contendría 2 “minisegmentos” c, y a, 3 “minisegmentos” c; así, la relación entre a y b vendría dada por la relación 3/2, es decir, “como 3 es a 2”.

Pero esta relación y su expresión como aparente “cociente” de dos números naturales no era considerada como un nuevo número -una fracción, la expresión de una relación parte/todo-, sino como una razón entre ambas magnitudes, es decir, como la expresión numérica de la relación entre ellas, sin que ambas estuvieran necesariamente ligadas como un par “parte/todo” (de hecho, en el ejemplo anterior, los dos segmentos son independientes). En la aritmética de los griegos no existieron, pues, las fracciones como números al estilo de los babilonios y egipcios.

Integrar las perspectivas formal, histórico-constructiva, y de aplicación al mundo real se convierte en una fortaleza que permite evitar también otras imprecisiones que a veces se observan en la construcción del objeto fracción en el nivel de la educación básica. Por ejemplo, definir el número racional positivo como la clase de equivalencia de todas las fracciones equivalentes a una dada (Freudenthal, 1983; Cid, Godino y Batanero, 2003). Identificación que nos parece forzada, por cuanto la naturaleza de los objetos matemáticos fracción y número racional es diferente -y para ello la referencia al origen histórico de ambos es determinante- y porque, además, no es posible la correspondiente definición de número racional negativo como la clase de equivalencia de todas las fracciones equivalentes a una dada, ya que no existen fracciones negativas. Y lo lógico es que la definición de ambos tipos de números racionales provenga de una fuente común, la de número racional (a secas).

También luce desacertado ubicar a la razón, junto con la fracción, como subconstructo del número racional (Kieren, 1988), como uno de los antecedentes de este último en la red conceptual correspondiente. El hecho de que la razón pertenezca al campo conceptual multiplicativo no tiene esa implicación; por ejemplo, las razones no pueden operarse (sumarse, etc.) como las fracciones ni como los números racionales. Además, el concepto matemático disciplinar -del ámbito del “savoir savant”- al que hace referencia la razón, entendida fundamentalmente como elemento integrador de una proporción, es el concepto de función lineal de la forma f(x) = mx.

7. Conclusiones

En resumen, con las consideraciones presentadas en el caso particular de las fracciones queremos hacer ver -como lo decíamos antes- que debe partirse de una visión compleja e integral de la matemática, que trascienda las limitaciones de la perspectiva exclusivamente formal y tome en cuenta también, particularmente, la perspectiva histórico-constructiva y la que contempla la matemática desde los contenidos de la realidad, de cara a la modelación y a las aplicaciones. La matemática de los niveles de la educación básica debe construirse desde una visión compleja de la disciplina matemática.

Por otro lado, todas estas consideraciones tienen que ver directamente con los procesos y programas de formación -inicial y permanente- de nuestros docentes, tanto de los integradores como de los que van a desempeñarse en la tercera etapa de Educación Básica. Hay que posibilitar su acceso a las perspectivas histórica y de modelación y aplicaciones de la matemática, en los mismos cursos de contenido matemático.

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