EL PROCESO DE SIMBOLIZACIÓN DE LA MATEMÁTICA EN LA INFANCIA

Alonso,Leonor
Facultad de Humanidades y Educación Universidad de Los Andes
Venezuela
Email: leonoralonso@cantv.net

Introducción

El motivo principal de este Seminario es mejorar la enseñanza y el aprendizaje de la matemática en sus aspectos formales, es decir, la matemática institucional, la que se enseña en la escuela. La matemática escolar se materializa en un lenguaje construido gracias a las crecientes capacidades humanas para la simbolización, primero no verbal y después verbal, que se observan en la primera infancia. El lenguaje de la matemática escolar por tanto, usa una clase de signos formados por expresiones verbales adecuadas, por ejemplo: cuatro, igual, más, menos, mayor, menor, etc. Y signos notacionales tales como: 4, =, +, -, >, <, etc. La matemática escolar se aprende, a nuestro entender, siguiendo el modelo de construcción mediada simbólicamente, del que el mayor o menor dominio de los instrumentos semióticos de mediación, por ejemplo, los signos lingüísticos y notacionales, favorecerá o no el avance de este aprendizaje. Sin embargo, antes de la enseñanza formal de la matemática e, incluso, en ausencia de esta enseñanza, los niños y niñas en todas las culturas tienen experiencias de matemática informal que se articulan fácilmente con sus capacidades naturales para observar y comprender los fenómenos del dominio de la matemática, por ejemplo, la estimación de cantidades y el cálculo no verbal. En tal sentido, entendemos que la matemática constituye un dominio natural del pensamiento humano, heredado de millones de años de evolución de nuestro cerebro en un contexto cultural en el que los números (al igual que las palabras) son un parámetro esencial.

En lo que sigue, trataremos de discutir algunos aspectos de la construcción evolutiva de este lenguaje relacionados con la simbolización matemática en los primeros años del desarrollo humano. Empezaremos por comentar la representación mental de la cantidad que aparece en el curso de la evolución; así mismo, comentaremos los estudios que demuestran dos sistemas cerebrales de cálculo mental, uno no verbal y otro verbal, y la importancia que tienen ambos para la comprensión del lenguaje de la matemática. A continuación presentaremos algunas actividades, a nuestro entender, necesarias en el proceso de construcción evolutiva de los aprendizajes de las nociones numéricas en los primeros años, como son el conteo, el uso de materiales simbólicos y el simbolismo notacional; así mismo, comentaremos las distintas tradiciones que están en la base de la enseñanza de las matemáticas y la importancia que le dan a estas actividades. Concluiremos con algunas sugerencias para mejorar la enseñanza de la matemática en la educación inicial.

La representación mental de la cantidad

Experiencias recientes permiten suponer que los niños de dos años y medio poseen algunas aptitudes para el conteo. Es por tanto posible pensar que la capacidad para contar o resolver problemas simples de aritmética es tan natural como el lenguaje.

En efecto, hasta los años 50, especialistas del desarrollo cognitivo del niño pensaron que las capacidades numéricas aparecían tarde en el niño, sin embargo, tests no verbales han demostrado que los bebés al año de vida pueden discriminar pequeñas cantidades, sumarlas y restarlas (Gelman. 1983). Explicaremos esto. Empezaremos por preguntarnos si el sentido de la cantidad es específicamente humano. Se ha demostrado en estudios etológicos con animales como los monos, los delfines y los pájaros, que ellos tienen un sentido elemental de la cantidad semejante a la de los bebés. La aptitud para la percepción numérica en los animales y los humanos se observa en tareas simples de discriminación (1) como la comparación de dos cantidades, al variar la talla (efecto tamaño) y al variar la distancia que las separa (efecto distancia). Por ejemplo, los humanos de 6 meses y los animales pueden diferenciar 8 de 16 o 16 de 32 pero no pueden diferenciar 9 de 10. Estas capacidades numéricas compartidas entre humanos y animales apoyan la hipótesis de que son el resultado de una larga historia evolutiva. Las investigaciones en etología conjeturan por otro lado, la ventaja evolutiva que aporta la percepción de las cantidades cuando se trata de estimar una cantidad de alimento o el tamaño de un grupo de coterráneos.

La capacidad para el cálculo no verbal

Por otro lado, la neuropsicología basada en el estudio de las redes funcionales de la corteza cerebral permite avanzar la hipótesis de que habría al menos dos sistemas cerebrales implicados en el cálculo mental (Dehaene, S., Molko, N. y Wilson, A. 2004): un sistema no verbal, basado en el sentido de los números y la manipulación de las cantidades, y otro, verbal basado en la memorización de cálculos independientes de la percepción de los números, por ejemplo, sumas simples: 2+2, 20+20 y tablas de multiplicación. El primero de esos sistemas (intraparietal) se activa en los dos hemisferios cerebrales (según observaciones en la imaginaría cerebral) en todas las tareas que necesitan manipulación de cantidades, por ejemplo, en la presentación visual de cantidades y la estimación numérica de conjuntos de objetos. En efecto, el cálculo no necesita siempre de la memoria verbal, muchas operaciones como la suma, la resta o la comparación necesitan solo manipular cantidades sin recurrir a la memorización de tablas. No obstante, aunque la estimación visual de cantidades la compartimos con otros animales, el aprendizaje de la lengua y la escritura permiten a la región intraparietal humana activarse igualmente por efecto de la notación simbólica de cantidades o números (por ejemplo las cifras árabes, las marcas en palos o cintas para el conteo). Esto cambia radicalmente el proceso de simbolización y abstracción matemática que tiene como base las capacidades humanas construidas en el curso de la evolución.

De manera que, el lenguaje de la matemática tiene una etapa originaria no verbal que no debemos desestimar pues en condiciones normales los niños desde muy temprano pueden estimar cantidades, manipular conjuntos, comparar, sumar, etc. De ello dan fe las investigaciones realizadas en las que se ha demostrado que hasta la edad de cinco años, los problemas simples de suma y resta son resueltos mejor cuando se presentan de forma no verbal. Por ejemplo, una experiencia llevada a cabo por Starkey,P. (1983) permitió estudiar la suma y la resta con niños de 4 años. El niño debía colocar de 2 a 4 objetos idénticos en una caja, uno tras otro. Después, el experimentador delante del niño saca un objeto, añade otro o no hace nada. Después, le pide sacar los objetos de la caja uno a uno. Se trata de saber cuantas veces mete la mano en la caja el niño. Se observo que 80% de los niños introduce la mano las veces correspondientes al numero de objetos que permanecen en la caja. Sin embargo algunos de estos mismos niños fracasaban cuando se les explicaba la operación verbalmente en forma de enunciado: bien sea en forma de historia o de números de objetos a sumar. Solo a la edad de 5 años en adelante, independientemente del tipo de presentación (visual o verbal) de la operación de suma, los resultados son positivos.

De lo anterior resulta que los niños manipulan mentalmente representaciones de cantidades discretas precisas antes de asociar los nombres a los números. En esta etapa, contar con los dedos puede jugar un papel fundamental en la fase no verbal del aprendizaje del cálculo. Esto se debe a que los dedos permiten una cierta simbolización, una cierta abstracción: ellos pueden representar tanto objetos como personas; permiten establecer una analogía entre lo que representan y las cantidades; sirven para manipular cantidades. Es decir, puede ser una etapa necesaria que abre la puerta para la comprensión de operaciones aritméticas presentadas en forma verbal y escrita (Dehaene, S; Molko, N; Wilson, A 2004). En tal sentido, los estudios transculturales han demostrado que en muchas culturas los niños (y también los adultos) recurren a los dedos y a otras partes del cuerpo para efectuar operaciones como mostrar cantidades, sumar, determinar el número de días que separan dos fechas, etc. De manera que contar con los dedos, la manipulación de objetos y colecciones, el tanteo experimental con materiales simbólicos (piedras, fichas) es clave en la formación de los conceptos numéricos iniciales.

Según esto podríamos entonces pensar que cuando aparece el lenguaje, hacia los 18 meses, la adquisición de la numeración verbal elemental (asociar el nombre uno, dos, tres, con las cantidades correspondientes 1, 2, 3), se efectuará mas rápidamente, no obstante, sólo hasta los 3 años los niños alcanzan a aprender esas asociaciones. Esto se debe a que la numeración verbal para designar cantidades no se realiza simplemente sin la guía del experto, es algo que requiere enseñanza formal. En efecto, los nombres de los números no evocan en sí mismos su cardinalidad: nada indica que la palabra “cinco” designa una cantidad superior a “cuatro”. En tal sentido, es sabido que los niños no asocian los nombres de las cantidades a su cardinalidad antes de los tres años.

Como veremos en adelante, es necesario un proceso continuo de simbolización para la construcción plena del lenguaje matemático, proceso que se inicia, como hemos visto, con la estimación perceptiva de cantidades, y continúan con un aprendizaje intencionado de los primeros numerales (palabras), de las notaciones (cifras) y de los signos relacionantes. En efecto, el aprendizaje escolar de la matemática se realiza propiamente cuando los niños son capaces de asimilar el lenguaje matemático, es decir, cuando les es posible la asimilación de símbolos: el uso de símbolos y de estructuras simbólicas que se realiza en gran medida con las palabras (por ejemplo, las que se refieren a cantidades, dos, tres, etc., o a las relaciones entre cantidades, por ejemplo, mayor, menor, igual, etc.) porque las palabras son el soporte expresivo de los significados matemáticos que se van construyendo.

De manera que, el lenguaje matemático sigue un proceso de simbolización creciente, por ello, cuando hablamos de la matemática como lenguaje, lo que queremos significar es que son sus aspectos simbólicos los que, desde el punto de vista didáctico, conviene enfatizar. Podemos conjeturar que la causa de multitud de errores en la comprensión de la matemática puede radicar en la dificultad real que supone el aprendizaje de este lenguaje especifico de características muy distintas del lenguaje natural u ordinario pero materializado gracias a este. En lo que sigue trataremos el proceso de simbolización creciente de la matemática, por medio de tres actividades básicas en el proceso de aprendizaje de las nociones numéricas: el conteo, el uso de materiales simbólicos y de códigos notacionales.

El proceso de construcción de las nociones numéricas

Antes que nada hemos de señalar algo que quizás sea obvio, se trata de la aceptación de la tesis epistemológica según la cual los procesos mentales se construyen y son mediados por el contexto sociocultural, siendo la cultura donde viven las personas, un agente mediador de todo aprendizaje y desarrollo (Wertsch 1988). De manera que los primeros aprendizajes numéricos (más allá de las representaciones mentales de la cantidad de las que hemos hablado) se dan en un contexto comunicativo adulto-niño en el que, el adulto utiliza un sistema simbólico -la lengua verbal que el aprendiz esta intentando dominar-, y en el que se ayudan ambos -aprendiz y experto- de otros recursos y materiales simbólicos como los dedos y otras representaciones analógicas y convencionales, así como las notaciones y los códigos notacionales.

Dicho esto, basándonos en Alcalá (2002) entraremos a describir algunas actividades fundamentales del proceso de enseñanza y aprendizaje de las nociones numéricas en los primeros años y la influencia de estas actividades en la simbolización de la matemática. Así mismo empezaremos comentando dos enfoques clásicos que interpretan ese proceso, como son la tradición lógico-conjuntista (Piaget, 1980) y la aritmetista (Gelman, 1983), enfoques que además han nutrido la didáctica de las matemáticas desde el siglo XX hasta hoy.

En la tradición lógico-conjuntista el objetivo prioritario de la enseñanza de la matemática inicial es el razonamiento mediante la acción sobre objetos y colecciones, situaciones y símbolos. Para esta tradición el número natural es una construcción que va haciendo el individuo como resultado del dominio de la ordenación de pequeñas cantidades y de la inclusión jerárquica de unas en otras; se enfatiza la cardinalidad mediante la descomposición y recomposición numéricas sobre cantidades concretas, uniones y sustracciones de cantidades. Desde este enfoque se da importancia a la expresión simbólica y por tanto a la construcción comprensiva de códigos notacionales, se prefiere hacer emerger la simbología de la actividad misma de los niños.

En el enfoque aritmetista el cálculo se coloca como objetivo prioritario de la enseñanza de la matemática, el razonamiento surge del trabajo numérico. Se centra la enseñanza en el número y las operaciones, por ello se da protagonismo a la enumeración, al conteo, al número ordinal y a las colecciones de muestra organizadas. Se da gran valor a los juegos de cálculo con objeto de que los niños desarrollen estrategias de cálculo y velocidad.

Comparando estos enfoques en el tema de las operaciones matemáticas, se observa que la introducción de la codificación aritmética, es diferente en ellos. Mientras en la didáctica lógico-conjuntista se llega a la codificación aritmética a partir de acciones reales o figuradas sobre colecciones, teniendo como conocimientos previos las operaciones con conjuntos, la didáctica aritmetista sitúa al niño frente a la escritura aritmética directamente y el trabajo sobre la simbolización se realiza mediante la lengua común o mediante el adiestramiento y ejercitación reiterada.

Actividades relacionadas con la construcción de las nociones numéricas

Es necesario ahora plantearse una orientación de enseñanza y aprendizaje que reúna los logros y las ventajas de cada enfoque. En tal sentido las correcciones que hace Baroody (1988) al enfoque aritmetista y los aportes piagetianos, freinetianos de la escuela activa son esenciales. Recogiendo estas tradiciones podemos plantear algunas metas didácticas para la educación inicial de la matemática. Estas son sólo algunas de ellas:

Desarrollar una base sólida de matemática informal antes de introducir el trabajo con símbolos escritos. Las operaciones lógico matemáticas en la infancia se van conformando gracias a la lengua natural, y tienen su base en acciones reales con objetos concretos (hojas, piedras, semillas, metras, cromos, dinero, etc.) que todo niño realiza en su vida cotidiana, por ejemplo: clasificar, ordenar, comparar, reunir, separar, etc. Estas son acciones concretas que en la medida que se apoyan en un razonamiento verbal serán acciones interiorizadas sobre las que se construye la operación matemática.

Estructurar experiencias informales de cálculo para fomentar el aprendizaje por descubrimiento. El cálculo no verbal y la estimación de cantidades es una actividad lúdica que está en la base de la construcción progresiva de las sumas y restas, del manejo de los números y de la notación simbólica.

Introducir el simbolismo formal como una expresión de lo que ya saben informalmente. En experiencias grupales de simbolización, los niños y las niñas pueden expresar mediante números y signos relacionantes un suceso, una historia, un problema, e inversamente, podrán traducir una expresión verbal a una escritura aritmética.

De manera que el proceso creciente de simbolización matemática se inicia, como ya señalamos, con la representación mental de cantidades; el cálculo no verbal; las primeras palabras que se refieren a los números; las acciones reales con objetos y sus relaciones y continúa con las notaciones y signos. Para describir este proceso nos centraremos en tres de las actividades relacionadas con el aprendizaje de las nociones numéricas descritas por Alcalá (2002): el conteo, el uso de materiales simbólicos y las notaciones.

El conteo

El conteo es una actividad base en el aprendizaje numérico inicial. Un conteo real requiere la aplicación y la coordinación de los siguientes principios:

El principio de adecuación única: cada elemento debe tener una sola y única designación; el principio de orden estable: la lista de designaciones verbales o retahílas es ordenada y estable; el principio de número cardinal: en todo conteo la última designación se refiere al conjunto; el principio de abstracción: toda suerte de elementos puede contarse en conjunto aunque no sean idénticos; el principio de no pertinencia de orden: el orden en que están dispuestos los elementos de una serie es irrelevante, siempre que la designación sea exclusiva y que respete el principio de orden y de número cardinal.

El conteo comienza con la utilización del número como expresión del tamaño o numerosidad de una cantidad discreta (etiqueta, denominación, palabra, número). Los adultos y el propio aprendiz actúan inicialmente sobre el tamaño de una pequeña colección de objetos: un caramelo, una nariz, dos pies, dos manos, etc. La utilización de los dedos va a ayudar a guardar el orden de las palabras, a discriminar pequeñas cantidades, a la memorización de la secuencia ascendente y descendente, a tomar conciencia de que la última cifra es la que designa el conjunto. En efecto, se dice que un aprendiz ya sabe contar cuando aplica los principios anteriores en actividades sobre colecciones cuyo tamaño está en torno a los diez elementos, y además sabe comparar el tamaño de dos colecciones aplicando el conteo, es decir, antepone el criterio de número a otros criterios perceptivos, como la disposición de los elementos, para asegurar si una cantidad de objetos es mayor o menor que otra.

El uso de materiales simbólicos

Con la entrada en la escolaridad el simbolismo matemático alcanza el primer plano del aprendizaje de la matemática. Antes de que esto suceda el aprendiz ha utilizado materiales ambientales para contar (piedras, palitos), ha aprendido a usar sus dedos como material simbólico. Sin embargo, en la escuela, para estructurar experiencias informales de cálculo y favorecer su aprendizaje, se recurre a la enseñanza directa, guiada por el adulto, con objetos o recursos simbólicos como las representaciones (abstracciones) de las cantidades o de los números. Estas representaciones pueden ser analógicas, es decir, aquellas que guardan un cierto parecido con lo representado (constelaciones de puntos, dados, bloques) y son utilizadas como representaciones de cantidades o representaciones de los números mismos. Las otras representaciones son convencionales, es decir, no guardan relación de parecido con la cantidad representada, ellas son las notaciones escritas como el simbolismo notacional de cifras y signos relacionantes. En la escuela, por tanto, se privilegia la enseñanza formal para llegar a operar con, comprender, manejar otras abstracciones: los números. Y lo más importante es que la propia acción se ve mediatizada por los instrumentos simbólicos empleados: la lengua verbal, el material simbólico (ambiental o estructurado), las representaciones gráficas de cantidades. Operar con instrumentos simbólicos, representar gráficamente cantidades es una experiencia de abstracción matemática necesaria en el camino hacia lo exclusivamente notacional.

El simbolismo notacional

El uso de la lengua y de materiales simbólicos son dos instrumentos, dos formas de representación del número que conducen a otra: las notaciones y signos relacionantes. En efecto, las cifras hacen referencia a otras simbolizaciones anteriores y adquieren pleno significado como resultado de aprendizajes anteriores: conocimiento verbal de cifras, conteo y manipulación de materiales, representaciones gráficas. Ahora bien, el aprendizaje de la expresión notacional del número, es una nueva forma de expresar el conocimiento ya poseído sobre cantidades. En efecto, la evolución propia de este aprendizaje va desembocando en la posibilidad de formalizar, de expresar con escritura aritmética, aumentos y disminuciones de cantidades: la descomposición y recomposición numérica y otras operaciones de creciente complejidad.

De manera que el simbolismo notacional inicial es el resultado de una actividad escolar intencionada y su uso se convierte en sí mismo, en fuente de conocimiento y de progreso porque ”una vez en posesión de la capacidad de registrar mediante notaciones nuestro pensamiento, son las propias notaciones las que se convierten en un poderoso amplificador de la capacidad operatoria” (Alcalá 2002, p.55)

Este carácter operatorio se observa cuando el aprendiz, en su acción sobre objetos reales o simbólicos se ayuda con el lenguaje verbal. Este lenguaje es externo primero, e interior después. Es decir, cuando la operación pasa a un plano mental propiamente dicho, el proceso verbal deja de ser consciente, quedando solo su resultado final: el contenido de la acción sobre los objetos (reales o simbólicos), es decir, el pensamiento sobre los objetos. De manera que en el desarrollo psíquico todo se asimila en la acción, y la evolución psíquica va de la acción externa con objetos particulares -verbalizada o no- a la acción abstracta que se realiza en el plano mental (Alonso, 2000) En esto consiste el carácter operatorio del aprendizaje de la matemática, que además es semiótico porque se trata de operaciones mediadas con los símbolos necesarios y adecuados a cada situación o problema.

Conclusiones

El conocimiento matemático elemental es una construcción continua que tiene lugar gracias a la función simbólica del ser humano. La matemática es un instrumento semiótico cuyos mediadores simbólicos (las palabras, las notaciones) son significantes, es decir, son la parte visible de algo interno, mental: el significado, la idea. De manera que los mediadores simbólicos son las herramientas para actuar mentalmente, por ello, a medida que se aprenden y forman parte de la estructura mental de los aprendices su comprensión matemática cambia radicalmente.

En efecto, en la psicología de la percepción y del conocimiento se ha demostrado que la reducción de las acciones perceptivas se debe a que los humanos, valiéndose de instrumentos semióticos, han sabido construir, en el curso de la evolución, cada vez más contenidos informativos de los objetos y de las posibilidades de operar con ellos en forma mental, interiorizada. El cómo ocurre esto, está en permanente revisión; esta conferencia ha intentado describir algunas de las formas en que se construye la representación mental de las nociones numéricas en los primeros años de vida humana; falta mucho por reflexionar y observar.

Sólo esquemáticamente hemos considerado algunos aspectos del proceso de simbolización matemática en la infancia, que deben ser tomados en cuenta en cualquier programa para la escuela infantil. Unos, referidos al desarrollo de funciones psíquicas como son: la percepción de objetos discriminados por su talla y distancia; los sistemas verbales y no verbales implicados en las operaciones de cálculo; la acción abstracta con símbolos. Otros, referidos explícitamente a las prácticas de enseñanza aprendizaje como son: el uso de materiales ambientales y simbólicos; el conteo; el uso de notaciones (signos relacionantes, esquemas, modelos) para representar cifras y operaciones. Este último aspecto es el más importante de nuestra intervención, pues si bien el proceso de simbolización matemática es un logro evolutivo de los seres humanos, el aprendiz no aprende solo, la cultura escolar decide el qué se debe aprender y el cómo se debe aprender la matemática. Por ello, la cultura escolar determina en qué medida las potencialidades de los niños y niñas encuentren canales de expresión.

Por último hemos de decir que a pesar de las muchas aportaciones de la psicología y de la neuropsicología, del trabajo arduo de los maestros y maestras y de sus observaciones, tenemos un escaso conocimiento de cómo se produce el aprendizaje de la matemática. No pretendemos ser pesimistas, todo lo contrario, el optimismo está en el convencimiento de que la psicopedagogía de la matemática está por construirse, o mejor aún, se construye todos los días en que somos capaces de reflexionar y de observar a nuestros aprendices y nuestras interacciones con ellos.

Bibliografía

Alcalá, M. (2002). La construcción del lenguaje matemático. Barcelona: Grao.

Alonso, L. (2000). El papel del lenguaje interior en la regulación del comportamiento. Educere, 4, 9, 61-68.

Baroody, A. (1988). El pensamiento matemático en los niños. Madrid: Visor

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Gelman, R. (1983) Les bébés et le calcul. La Recherche, 149, 1382-1389.

Piaget, J. (1980). Observaciones sobre la educación matemática. La enseñanza de las matemáticas modernas. Madrid: Alianza.

Starkey, P. (1983). Some precursors of early arithmetic competances. Comunicación presentada en la Society for Research in Child Development, Detroit.

Wertsch, J. V. (1988). Vigotsky y la formación social de la mente. Barcelona: Paidós.

Notas
1	La representación mental de los números en el curso de la evolución sigue un principio elemental que se aplica a la percepción visual o auditiva llamada “ley de Weber”. Según esta ley el umbral de discriminación de dos estímulos aumenta en proporción a su intensidad