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Ensayos |
EL ENIGMÁTICO SIMBOLO “X” EN LOS POLINOMIOS
Roy
Quintero, Deyse Ruiz y Ruperto Terán.
Universidad de Los Andes. Núcleo Universitario “Rafael Rangel”.
Trujillo – Edo. Trujillo. Venezuela
E-mail: costan@cantv.net , rupertob@hotmail.com
Contenido
- Resumen
-
Algunos principios epistemológicos de
la Matemática
- Descripción, análisis e interpretación de la información
Resumen
Esta ponencia
recoge el análisis preliminar de los hallazgos de una investigación en desarrollo
que tiene como propósito indagar acerca de la interpretación que tanto profesores
como estudiantes atribuyen a los conceptos de “Variable”, “Indeterminada”
e “Incógnita” y que son representados con el mismo símbolo “X”, dentro del
tema Polinomios de octavo grado de Educación Básica. Un mismo símbolo representa
objetos matemáticos diferentes, esto es, la “X” es usada para representar
la indeterminada en la “Definición de polinomio”, para representar la incógnita
en una “Ecuación polinómica” y representar la variable en una “Función polinómica”,
en nuestros contextos escolares. Para lograr dicho propósito, el abordaje
metodológico se realizó desde el enfoque de la etnografía.
Palabras
clave: símbolo X, variable, indeterminada, incógnita,
interpretación
Introducción
La investigación
parte de la importancia que tiene el aprendizaje conceptual dentro de la educación
científica, específicamente en la educación matemática. La enseñanza y el
aprendizaje de los conceptos suelen tropezar con ciertos obstáculos, entre
ellos, la presencia de nociones ambiguas que impiden al estudiante construir
conceptos cónsonos a los utilizados por las disciplinas científicas. En el
caso de la matemática como disciplina escolar, algunos conceptos no proceden
del contexto cotidiano del estudiante, gran parte de ellos derivan de un largo
proceso de abstracción elaborado por los matemáticos dentro de su disciplina,
por lo que su enseñanza requiere de acciones didácticas sistemáticamente planificadas.
El desarrollo
del pensamiento matemático requiere, por un lado, de la aprehensión de los
objetos matemáticos mediante una comprensión conceptual y, por otro, entender
que las representaciones semióticas (las que representan al objeto) posibilitan
una actividad sobre los objetos matemáticos (Duval, s.f). Esos objetos son
representados mediante símbolos o signos, los cuales son representaciones
semióticas del mismo, por lo tanto, es importante establecer diferencias entre
un objeto y su representación, esto es un punto estratégico para la comprensión
de la matemática.
En algunos casos,
un mismo símbolo matemático puede hacer referencia a varios conceptos matemáticos
similares o relacionados entre sí, por tanto, tienen una función comunicativa
e instrumental diferente según sea el objeto matemático al que se refieren.
Esto es particularmente notorio en el contenido de Polinomios, el cual aparece
en el programa de matemática de octavo grado de Educación Básica. En este
grado, el estudiante comienza a trabajar con los “Polinomios”, “Función polinómica”
y “Ecuación polinómica”, en consecuencia debe tropezar necesariamente con
el “cotidiano y misterioso” símbolo “X” (Quintero, 1998). Según Quintero,
este símbolo es usado en los ambientes escolares de tres formas diferentes,
sin que se advierta sobre los significados que se atribuyen al mismo en relación
con las nociones o conceptos matemáticos que intenta representar. En esta
forma, el símbolo “X” dentro del tema de los polinomios sirve para representar:
- La “Indeterminada”, cuando es utilizado para definir los polinomios
con coeficientes enteros, racionales, reales o complejos, así, los polinomios
tienen una estructura algebraica muy similar a la estructura del conjunto
Z de los números enteros.
- La “Variable”, cuando se trata de una “Función polinómica”, como
la siguiente: F (X) = 3X + 5, en donde el lado derecho tiene la forma de
un polinomio.
- La “Incógnita” cuando se trata de ”Ecuaciones polinómicas o Raíz
de un polinomio”, tales como: 6X + 4 = 0, donde X es el número - 2/3.
Por tanto, en
la enseñanza de los polinomios se requiere prestar atención a este símbolo
y a los objetos matemáticos representados en él, esto es, determinar cuándo
el símbolo está representado la indeterminada, la variable o la incógnita
dentro de un enunciado matemático.
Antes de proceder
al análisis de sus usos e interpretaciones en los contextos escolares, es
importante considerar la historia del símbolo “X” dentro de la matemática
como disciplina científica, así como los conceptos que él representa, igualmente,
se hace necesario revisar en la vida cognitiva del estudiante de octavo grado
de Educación Básica, en cuanto a su evolución cognitiva-conceptual. Sobre
este último aspecto, vale la pena señalar lo siguiente:
·
El estudiante de este grado, por
lo general es un joven preadolescente o adolescente, cuya edad oscila entre
los trece y catorce años de edad y si hacemos referencia a la teoría de Piaget
(1981) en cuanto a las etapas de desarrollo, diríamos que éste se encuentra
iniciando la etapa de las operaciones formales. Estas operaciones formales
se alcanzan a partir de la adolescencia y constituyen un sistema de pensamiento
sin el cual no sería posible la comprensión del discurso científico, por lo
que resulta importante para comprender el tipo de progreso psicológico que
tiene que realizar el estudiante para acceder al conocimiento científico (Pozo,1997).
En contraste
con la etapa de las operaciones concretas, las operaciones formales transcienden
lo real para plantearse lo posible, en esta forma, las operaciones formales
no trabajan con objetos del mundo real sino con dimensiones y variables posibles,
por lo que no se opera con objetos físicos, sino con operaciones concretas
previamente realizadas con los mismos objetos. En consecuencia, las operaciones
formales están fundamentadas en representaciones más que en los objetos mismos,
por tanto deberán apoyarse en un código o formato de representaciones o lenguaje
distintos del pensamiento concreto. Otra característica funcional que se le
atribuye al pensamiento formal es su naturaleza hipotético-deductiva, en la
que se admite la búsqueda de explicaciones de los hechos más allá de la realidad
y, además, permite someterlas a comprobación o validaciones sistemáticas.
Por lo que un estudio de esta naturaleza se justificaría en el ámbito educativo.
·
El estudiante de octavo grado ha
trabajado anteriormente con el símbolo “X”. En grados anteriores (sexto y
séptimo) y en contenidos programáticos previos al tema de los Polinomios,
posiblemente ha resuelto ecuaciones de primer y segundo grado, en las que
el símbolo ha sido utilizado para representar la “Incógnita” de una ecuación
y también ha sido tratado como “Variable”, cuando se ha trabajado con el concepto
de Función lineal en séptimo grado. En cuanto al concepto de “Indeterminada”,
se presume que éste no es utilizado en este nivel de escolaridad debido al
alto nivel de abstracción que implica dentro de la definición de polinomios
(Quintero, 1998).
Tomando como
referencia lo anterior, se partió de la pregunta: ¿Cómo interpretan estudiantes
y profesores los conceptos de Indeterminada, Variable e Incógnita que generalmente
son representados con el mismo símbolo “X”, dentro del tema Polinomios del
programa de matemática de octavo grado de Educación Básica?
Como preguntas
auxiliares surgen las siguientes:
- ¿Cómo se conciben los conceptos de Indeterminada, Incógnita y Variable?
- ¿Cómo se articulan estos conceptos?
- ¿Qué formas posibles de comprensión existen para cada concepto en
particular?
- ¿Qué funciones cumplen estos conceptos dentro de una expresión matemática
determinada y si el estudiante puede reconocer el significado de este símbolo
“X” en cada expresión cuando realiza operaciones relacionadas con el tema
de los polinomios?.
- ¿Qué aspectos deberán tomarse en cuenta en el aprendizaje de ellos?
Algunos principios epistemológicos de la Matemática
El problema
de la comprensión está relacionado con el ¿cómo se concibe el conocimiento
matemático? Asumiendo que los términos y expresiones matemáticas denotan entidades
abstractas, se hace necesario explicar qué se entiende por comprender un objeto
matemático, cómo está estructurado, qué formas posibles de comprensión existen
para cada concepto en particular, qué aspectos o componentes de esos conceptos
son posibles y deseables que aprendan los estudiantes en un momento y circunstancias
dadas.
En nuestro tema
a investigar esto equivaldría a preguntar: ¿cómo se conciben los conceptos
de Indeterminada, Incógnita y Variable?, ¿cómo se articulan estos conceptos?,
¿qué formas posibles de comprensión existen para cada concepto en particular?,
¿qué funciones cumplen dentro de una expresión matemática determinada?, ¿qué
aspectos deberán tomarse en cuenta en el aprendizaje de ellos?
En este esfuerzo
explicativo, se partirá de algunas hipótesis cognitivas y epistemológicas
acerca de la matemática propuestas por Godino (2000), éstas se refieren a
que:
- La matemática es una actividad humana que implica la solución de
situaciones problemáticas. En la búsqueda de soluciones emergen y evolucionan
objetos matemáticos.
- La matemática es un lenguaje simbólico en el que se expresan situaciones
problemas y las soluciones encontradas. En consecuencia, los símbolos matemáticos
tienen una función comunicativa e instrumental.
- La matemática es un sistema conceptual lógicamente organizado. Por
tanto, cuando un objeto matemático ha sido aceptado como parte del sistema
puede considerarse como realidad textual y un componente de la estructura
global, puede ser manipulado como un todo para crear nuevos objetos matemáticos.
La matemática
como una actividad humana genera objetos matemáticos que son representados
semióticamente por signos y símbolos, éstos tienen como función posibilitar
diversas manipulaciones operatorias e instrumentales dentro del campo matemático
y también al ser creados o producidos en el seno de una comunidad científica,
pueden ser considerados como objetos socio-epistémicos, cuyos significados
son compartidos. Por lo tanto, sería importante preguntar: ¿Cómo concibe la
comunidad matemática los conceptos de Indeterminada, Variable e Incógnita
y cómo son concebidos por los profesores, el currículo, los textos y el aparato
escolar en general?
El conocimiento
científico es intrínsecamente producto de acciones individuales y grupales
dentro de una comunidad científica que comparte sistemas de valores cognitivos,
éticos y culturales. Por tanto, la matemática como ciencia no puede ser entendida
sin referencia a la naturaleza especial de la comunidad científica que la
construye.
Las actuaciones
dentro de esa comunidad científica, están mediadas por los instrumentos semióticos
que la cultura aporta y por las capacidades de razonamiento lógico deductivos
de los involucrados en tales actuaciones. Así, la comunidad científica matemática,
también comparte un lenguaje simbólico, con el que es posible crear, manipular
y comunicar situaciones problemáticas y sus soluciones, por ello, los símbolos
matemáticos tienen una función instrumental y comunicativa.
Además, cuando
se asume que la matemática es un sistema conceptual lógicamente organizado,
ello implica que algunos conceptos necesitaron años de esfuerzos para su desarrollo
dentro de esa ciencia. Esos conceptos configuran una red, en la que unos derivan
del contexto cotidiano y otros fueron generados a partir de un proceso de
abstracción sucesivo realizado por los matemáticos y su ciencia. Por tanto,
parte del poder de la matemática como ciencia, estriba en su abstracción y
generalidad, lograda por generaciones sucesivas de matemáticos que han abstraído
o generalizado desde conceptos anteriores. En consecuencia, algunos conceptos
matemáticos no pueden aprenderse directamente del entorno cotidiano, sino
a través del proceso de abstracción elaborado por los matemáticos y su ciencia
(Skemp, 1999). En este sentido, el aprendizaje conceptual ha de ocupar un
papel central dentro de la educación matemática.
Descripción, análisis e interpretación de la información
La investigación
tuvo como escenario un aula de octavo grado de Educación Básica del municipio
Trujillo del estado Trujillo. Esta aula de clase está conformada por 38 estudiantes
y la asignatura es dictada por una profesora con título de licenciada en Educación,
mención Matemática, egresada del Núcleo Universitario “Rafael Rangel” de la
Universidad de los Andes.
En cuanto a
los instrumentos de recolección de información, se utilizaron: la observación
participativa, el diario de campo o notas de campo, también se utilizaron
cuestionarios, éstos estuvieron dirigidos a profesores y estudiantes, tenían
como finalidad determinar en forma detallada los significados que tanto la
profesora como los estudiantes atribuyen a los conceptos en estudio. En cuanto
a los “textos nativos”, entendidos éstos, como los escritos producidos en
el contexto de la clase, se consideraron los cuadernos de apuntes de los estudiantes.
El análisis preliminar de la información
indica lo siguiente:
En cuanto al
concepto de “Indeterminada” dentro del tema de polinomios (definición de polinomio)
éste no fue reportado en ningún escenario, esto es, ni en las clases, ni en
los cuadernos, ni en los ejercicios desarrollados por la profesora y por los
alumnos. En el cuestionario dirigido a los profesores, el concepto de “Indeterminada”
aparece difuso. Nos adelantaremos a indicar algunas apreciaciones consideradas
en el cuestionario y que hacen referencia a éste como un concepto general
y abstracto que logra operacionalizarse mediante la variable y la incógnita.
El mismo no se incluye en los contenidos matemáticos sobre polinomios en octavo
grado de Educación Básica. Tales consideraciones afirman la presunción de
Quintero (1998), en cuanto a la ausencia de este concepto en los contenidos
programáticos de este nivel de escolaridad debido al nivel de abstracción
que implica el mismo. Así, el concepto de “Indeterminada” queda reservado
como un objeto matemático de abstracción considerable que abarca los conceptos
de “Variable y de Incógnita”.
En cuanto al
concepto de “Incógnita” asociado al contenido programático de Ecuación polinómica
o Raíz de un polinomio, éste tampoco fue reportado, pues, aunque el contenido
estaba enunciado en el plan de lapso presentado de la docente, no fue desarrollado
durante las clases destinadas a tal contenido. En el plan de lapso aparece
como un contenido procedimental, enunciado de la siguiente manera: “Establecer
que los números racionales que anulan a una función polinómica se llaman ceros
de la función o raíz del polinomio”. Por tanto, en el transcurso de la observación
realizada en las clases, el concepto de “Incógnita” no fue tratado, así lo
evidencian las clases registradas y los apuntes del cuaderno de matemática
de los estudiantes considerados como informantes clave.
Con relación
al término “Variable”, éste fue registrado con mayor frecuencia que los términos
anteriores, para analizar su uso en este contexto escolar debemos partir de
la definición de polinomio, debido a que cuando se introduce el tema de los
polinomios, surge por primera vez este término en forma explícita en el contexto
de la clase.
Cuando analizamos
la clase introductoria del tema Polinomios, del día lunes 2 de febrero de
2004, encontramos que éste queda definido como: “…es una expresión algebraica
que se simboliza mediante letras” (Cuaderno de apuntes y clase registrada).
En esta definición, los vocablos referidos a “expresión algebraica”, no son
objetos de atención y por tanto de mención significativa. A partir de lo cual,
reflexionamos y nos preguntamos:
¿Entienden los
estudiantes qué es una expresión algebraica?, ¿quedará definido en forma adecuada
el concepto de polinomio? Posteriormente, se recurre a emitir un ejemplo,
el cual queda registrado como: P (X) = 7X3 + 5X2 + 9X – 2. A partir de él,
la profesora seguida por el coro de estudiantes va nombrando los términos
que conforman la expresión matemática escrita anteriormente. Paralelamente
a la expresión oral, la profesora va escribiendo en el pizarrón el significado
de cada uno de estos componentes, con ayuda de una representación gráfica,
que llamaremos esquema. En esta forma, son nombrados e identificados los componentes
(signo, coeficiente, variable y grado. Posteriormente, se acude a la ayuda
proporcionada por otro ejemplo, el cual queda registrado como: P(X) = 3X4
– 2X3 – X2 + 5X – 4, en donde se identifica como términos a: 3X4; –2X3; –X2;
5X, –4. Como coeficientes se escriben los números: 3, 2, 1, 5, –4. Como variable,
se escribe: X; como término independiente, se anota el número: -4 y como grado
del polinomio se escribe el número 4.
Esta identificación
ocurre sin que sea necesario acudir al significado de la palabra “variable”,
ella simplemente queda representada con “X”. Luego se procede a clasificar
las expresiones algebraicas en monomios, binomios y trinomios.
En la definición
de polinomio no median los elementos restrictivos a los coeficientes, es decir
no se coloca a qué conjunto pertenecen. El conjunto de los coeficientes que
conforman la expresión no es definido (al menos, en forma explicita) dentro
de algún sistema numérico, tales como el conjunto de los números enteros Z,
el conjunto de los números racionales Q o el conjunto de los números reales
R, igual sucede para el conjunto de exponentes asociado a cada término (el
exponente ha de ser un número entero nonegativo).
Sólo se hace
mención al caso mostrado a través del ejemplo. En consecuencia, la definición
queda reservada a un caso particular. Desde el punto de vista conceptual diremos
que tal definición corresponde a una noción abordada con cierta ambigüedad,
pues el conjunto de los coeficientes no queda definido explícitamente dentro
de algún conjunto numérico, tal como Z, Q o R.
Cuando se examinan
las definiciones dadas a cada uno de los componentes que conforman la expresión
algebraica, detectamos que la palabra “Variable” aparece asociada a la definición
de coeficiente (Coeficiente: Son los números que multiplican a la variable).
Sin embargo, ella apenas es nombrada y representada por el símbolo “X”, como
es lo usual. No se hace referencia a ella en un apartado especial, tal como
sucede con los otros componentes de la expresión algebraica en estudio. Su
aparición ocurre en un ambiente que presumimos de cotidiano, tanto para la
docente como para los estudiantes, es decir, es mencionada sin hacer referencia
a su connotación semántica dentro de la expresión matemática en estudio. Ella
aparece como un accesorio, que quizás no amerite mayor explicación.
Los ejemplos
utilizados por la profesora y que aparecen registrados en el cuaderno, son
utilizados como ejercicios para asegurar la correcta identificación de los
componentes del polinomio. Aquí no importa saber el ¿qué?, ¿quién? y ¿qué
hace?, dentro de una expresión algebraica, llamada polinomio; sólo importa
nombrarlo sin que ello, necesariamente implique un reconocimiento, una explicación
o alguna reflexión. Este proceso de identificación, mediante la asignación
de nombres a cada componente es logrado con relativo éxito, pues en el cuestionario
dirigido a los estudiantes, éstos identificaron con cierta facilidad cada
componente (El 54% de los estudiantes, respondieron que identificaron con
facilidad), sin embargo, cuando se les sugirió dar una justificación a su
respuesta, se encuentran ciertas contradicciones con respecto al grado de
dificultad para nombrar los componentes de un polinomio.
La carencia
de una conceptualización que pueda ser considerada como apropiada para el
objeto matemático “polinomio” y para el término “variable” se refleja en los
contenidos tratados con posterioridad. En una clase registrada el día jueves
5 de febrero de 2004, el “Valor numérico de un polinomio” queda definido como:
“Es el número que se obtiene cuando se sustituye en el polinomio la variable
por su valor y se efectúan las operaciones” (notas de campo y cuaderno de
apuntes). En esta definición se introduce en forma explicita la palabra “variable”,
sin que medie para ello el significado de la misma y el papel que esta desempeña
dentro de las expresiones polinómicas que aparecen posteriormente en la hoja
del cuaderno como producto de la trascripción realizada por el estudiante
a partir de lo escrito en el pizarrón.
En efecto, aquí
la “X” podría ser considerada como una variable, pero al no hacerse referencia
a la “función polinómica”, pierde su connotación y el valor numérico queda
definido para un caso muy particular, como un simple número, sin ninguna conexión
con la función polinómica y por ende, con el concepto de variable. Por otra
parte, el exceso de ejercicios reportados en el cuaderno demuestra el apresuramiento
por pasar a la parte operativa sin advertir la parte conceptual, es decir,
relacionar el cálculo del valor numérico de un polinomio con el concepto de
variable y la función polinómica, aquí sólo importa ejecutar las operaciones
sin referencia semántica a los conceptos genéricos involucrados en la operación.
Debido a lo
anteriormente descrito, presumimos que a lo largo de la escolaridad entre
el sexto, séptimo y octavo grado de Educación Básica, el estudiante ha tropezado
en varias oportunidades con el símbolo “X”, se le ha transformado en un símbolo
cotidiano que no amerita preguntar o preguntarse por él.
En las clases
posteriores al contenido de “Valor numérico de un polinomio”, se describen
las operaciones algebraicas con polinomios: adición, sustracción, multiplicación
y división con las correspondientes reglas algorítmicas para efectuar los
cálculos. En ellas, el término “variable” desaparece como palabra, no obstante
queda su representación mediante la cotidiana “X”, con la que se efectúan
las operaciones algebraicas con polinomios.
De este análisis
preliminar diremos que la palabra variable aparece escrita explícitamente
en dos ocasiones, una, para hacer referencia al coeficiente y, la segunda,
para indicar que la variable debe ser sustituida por un valor determinado
y calcular el valor numérico de un polinomio con ese valor asignado a la variable.
Las operaciones con los polinomios son desarrolladas manipulando el símbolo
“X” sin prestar atención al significado que subyace en dicho símbolo. Al parecer,
existe mayor preocupación por desarrollar destrezas operatorias en detrimento
de un aprendizaje conceptual. Se ignora que detrás de los símbolos matemáticos
existe un concepto asociado al que es necesario prestar mayor atención si
lo que deseamos es un aprendizaje significativo.
En consecuencia,
consideramos que en la enseñanza de la matemática prevalecen, las acciones
didácticas dedicadas a desarrollar cálculos y no a reflexionar sobre los conceptos
implicados en tales operaciones. En este sentido, el concepto de variable
y su correspondiente símbolo aparecen como periféricos durante el desarrollo
de los ejercicios.
Referencias Bibliográficas
Duval,
R. (s.f.). Registros de representación semiótica y funcionamiento cognitivo
del pensamiento. Material mimeografiado.
Godino,
J. (2000). Significado y comprensión de los conceptos matemáticos. Didáctica
de las Matemáticas. Nº 25. 59-74. Madrid: Revista Uno.
Piaget,
J. (1981). Psicología y Epistemología (5ª ed.). Barcelona: Ariel Pozo,
J. (1997). Teorías cognitivas del aprendizaje. Madrid: Morata.
Quintero,
R. (1998). Diferentes interpretaciones de los polinomios. Mérida: III
Escuela Venezolana de Educación Matemática.
Skemp,
R. (1999). Psicología del aprendizaje de las matemáticas. 3ª edición.
Madrid: Morata
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